第3章 第4节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
π1
1. [2011·辽宁]设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝( )
437
A. －
91C. 9答案：A
π12212
解析：由sin(＋θ)＝，得sinθ＋cosθ＝，即sinθ＋cosθ＝，两边平方，得1＋
43223327
sin2θ＝，所以sin2θ＝－.
99
π47
2. 已知cos(α－)＋sinα＝3，则sin(α＋π)的值是( )
6562
A. －3
54C. －
5答案：C
πππ33π4
解析：cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝3sin(α＋)＝3.
6662265π4
∴sin(α＋)＝，
65
7π4
而sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－. 665
2sin2α＋sin2απ1π
3. [2012·太原部分重点中学联考]已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则＝( )
422π
cos?α－?425A. －
5310C. －
10答案：A
πtanα＋111π10解析：由tan(α＋)＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－. 41－tanα232102sin2α＋sin2α2sinα?sinα＋cosα?25故＝＝22sinα＝－. π52
cos?α－??sinα＋cosα?42
1
B. －
97D. 9
B.
23
5
4D. 5
35B. －
10D. 25
5
πππ
4. [2012·江南十校一模]若将函数y＝Acos(x－)·sin(ωx＋)(A>0，ω>0)的图像向左平移
666个单位后得到的图像关于原点对称，则ω的值可能为( )
A. 2 C. 4 答案：D
ππ
解析：f(x)＝Acos(x－)sin(ωx＋)，
66ππωπ
则f(x＋)＝Acosxsin(ωx＋＋)，
666
ππ
即ω·＋＝kπ，则ω的值可能为5，故选D.
66
ππ
5. [2012·广州六校联考]已知f(x)＝cos(－x)＋3sin(＋x)(x∈R)，则函数f(x)的最大值为
22( )
A. 23 C. 3 答案：B
13
解析：∵f(x)＝sinx＋3cosx＝2(sinx＋cosx)
22πππ
＝2(sinxcos＋cosxsin)＝2sin(x＋)．
333
ππ
∴当sin(x＋)＝1，其中x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，其最大值为2，故选
36B.
πβ3α1
6. 若α，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于( )
22222A. －
3
2
1B. －
2D.
3 2B. 2 D. 1 B. 3 D. 5
1C. 2答案：B
ππβππαπβ3α
解析：∵α，β∈(0，)，∴－<α－<，－<－β<，由cos(α－)＝和sin(－β)＝
24222242221βπαπβπαππ
－可得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈(0，)2262626262βπαππ1
矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos(α＋β)＝－，选B.
262632
二、填空题(每小题7分，共21分)
π35ππ
7. [2012·浙江杭州月考]已知sin(x＋)＝，则sin(－x)＋sin2(－x)＝__________.
63632＋3
答案： 3
5ππ5πππ
解析：sin(－x)＋sin2(－x)＝sin[π－(－x)]＋cos2[－(－x)]
63623ππππ312＋3
＝sin(x＋)＋cos2(x＋)＝sin(x＋)＋1－sin2(x＋)＝＋1－＝.
6666333
8. [2012·广东惠州模拟]方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>0)的两根为tanA，tanB，且A，B∈(－ππ
，)，则A＋B＝__________. 22
3π
答案：－
4
解析：由韦达定理得tanA＋tanB＝－3a，tanAtanB＝3a＋1， tanA＋tanB－3a
则tan(A＋B)＝＝＝1.
1－tanAtanB1－?3a＋1?
ππ
又A，B∈(－，)，A＋B∈(－π，π)，tanA＋tanB＝－3a<0，
22
ππ
tanAtanB＝3a＋1>0，所以tanA<0，tanB<0，A∈(－，0)，B∈(－，0)，A＋B∈(－π，
220)，
3π
所以A＋B＝－.
4
11
9. [2012·镇江模拟]已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sinωxcosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，
223π
若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为________．
41答案： 3
1－cos2ωx3
解析：∵f(x)＝＋sin2ωx
221π
＝＋sin(2ωx－)， 26
1312π3由题意知f(x)的个周期为π，∴×＝π，
4442ω41
∴ω＝.
3
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
312ππ
10. 已知sin(2α－β)＝，sinβ＝－，且α∈(，π)，β∈(－，0)，求sinα的值．
51322π
解：∵<α<π，∴π<2α<2π.
2
ππ5π又－<β<0，∴0<－β<，π<2α－β<.
2223
而sin(2α－β)＝>0，
5
5π4
∴2π<2α－β<，cos(2α－β)＝.
25π125
又－<β<0且sinβ＝－，∴cosβ＝，
21313∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ 45312＝×－×(－) 51351356＝. 65
9
又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝，
130π
∵α∈(，π)，
23130∴sinα＝. 130
1π
11. [2011·广东]已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
365π
(1)求f()的值；
4
ππ106
(2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
221355π
解析：(1)化简f(π)＝2sin＝2，可直接求出．
44
π105π6
(2)化简f(3α＋)＝2sinα＝，得sinα＝，同理f(3β＋2π)＝2sin(β＋)＝2cosβ＝，∴
21313253
cosβ＝.由α、β都为锐角，可求得cosα、sinβ值，再用两角和的余弦公式可求得cos(α＋β)．
5
5π5πππ
解：(1)f()＝2sin(－)＝2sin＝2.
41264π105
(2)f(3α＋)＝2sinα＝，∴sinα＝.
21313π12
又α∈[0，]，∴cosα＝.
213π6
f(3β＋2π)＝2sin(β＋)＝2cosβ＝，
253
∴cosβ＝. 5
π4
又β∈[0，]，∴sinβ＝，
2516
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝.
65
ππ
12. [2012·深圳调研]已知函数f(x)＝2sin(ωx－)sin(ωx＋)(其中ω为正常数，x∈R)的最
63小正周期为π.
(1)求ω的值；
1BC
(2)在△ABC中，若A 2ABππ 解：(1)∵f(x)＝2sin(ωx－)sin(ωx＋) 63πππ ＝2sin(ωx－)cos[(ωx＋)－] 632 πππ ＝2sin(ωx－)cos(ωx－)＝sin(2ωx－)， 663而f(x)的最小正周期为π，ω为正常数， ∴ 2π ＝π，解得ω＝1. 2ω π (2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)， 3若x是三角形的内角，则0 333 1π1令f(x)＝，得sin(2x－)＝. 232πππ5π ∴2x－＝或2x－＝. 3636π7π解得x＝或x＝. 412 1 ∵A，B是△ABC的内角，A 2π7ππ∴A＝，B＝，∴C＝π－A－B＝， 4126π 4BCsinA 由正弦定理，得＝＝＝ ABsinCπ sin6 sin 22 ＝2. 12