一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式：
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A、B独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P( )=1-P(A) ; B发生的前提下A发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ;
2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律：
离散型X的取值是x k(k=1,2,3...), 事件X=xk 的概率为： P{X=xk}=Pk, k=1,2,3...; --- 既 X的分布律； X Pk X1 P1 X2 P2 .... ... xn pn
;
X的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。 分布函数：
F(x)=P(X ), - ; 是概率的累积！ P(x1 离散型rv X; F(x)= P{X ;(把X rvX；F(x)= , f(x)称密度函数；既分布函数 F(X)是 密度函数f(x)和X轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F( ; F( ; 二、常用概率分布： ①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n次，发生k次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p) P{X=k}= ，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p); ②离散：泊松分布：X～Π(λ) P{X=k}= ,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ; ③连续型：均匀分布：X在(a,b)上均匀分布，X～U(a,b), 则：密度函数：f(x)= 其它 分布函数F(x)= = 其它 ④连续型：指数分布，参数为 ，f(x)= F(x)= ; ⑤连续型：正态分布：X～N( most importment! 密度函数 f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=μ, E(X)=μ,方差D(X)= ; 当μ=0， 时，N(0,1)称标准正态，图形为： 分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。当X～N(0,1)，F(x)=Φ(x)(换个叫法）, 由对称性有Φ(-a)=1-Φ(a)； 看到X～N( ,求概率的题，一定要变成标准正态N(0,1); 既把X变成 ；则 ～N(0,1)； 例题：已知 X～N( ； 求P(-1 ) )= P( )= Φ(1)- Φ(-1)= Φ(1)-[1-Φ(1)]=2Φ(1)-1;查表 正态性质：如X～N( ， ～N( ；则Z=aX+bY也是正态；Z～N( ,其中μz=aμ1+bμ2 ; σz2=a2σ12+b2σ22 ； 三、二维随机变量： 离散型：（X,Y)可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,...). 联合分布律：P{X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,3,..) 联合分布律的表格形式: X Y X1 X2 X3 Y1 P11 P21 P31 Y2 P12 P22 P32 Y3 P13 P23 P33 P(X=I) P11+P12+P13 P21+P22+P23 P31+P32+P33 P(Y=J) P11+P21+P31 P12+P22+P32 P13+P23+P33 边缘分布： P(X=1)=P11+P12+P13(横排相加） ; P(X=2)，P(X=3)同样计算 P(Y=1)=P11+P21+P31（竖排相加）; P(Y=2) ，P(Y=3)类似计算； 条件概率： X=X1条件下Y的分布律：P{Y=yj|X=x1}=P{Y=y1|X=x1}= 连续型：设f(x,y)是联合概率密度；（注意x,y常常有取值范围D的） 则 ：F(x,y)=P(X 边缘密度： = ; ; P{Y=y2|X=x1}= ; P{Y=y3|X=x1}= 如XY独立，则f(X,Y)=fx(X)*fy(Y); 反之也成立； X,Y二维正态密度中的参数 ，则X,Y独立； 题型：1、f(x)有未知常数，求未知常数； 思路：注意x的定义域，利用 F(∞)= 求出参数； 2、求P(X 3、求Z=X+Y的分布：密度公式 四、数学期望、方差 数学期望 E(X), 方差D(X) : 离散：E(X)= ; E(g(X))= ; 连续：E(X)= E(g(X))= 性质：E(C)=C, E(CX)=CE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y) 如X,Y独立，则E(XY)=E(X)*E(Y)； D(X)=E(X2 2 ; D(C)=0， D(CX)=C2X 如X,Y独立，D(X 五、样本及抽样分布 中心极限定理：E(X)=μ,D(X)=σ2的独立同分布的X1,X2,X3...Xn，当n充分大时，有： ～N(0,1); 是Xi的和； 样本及抽样分布：从总体X中抽取一个个体，独立抽n次，记为X1,X2,...Xn, 它们组成独立、同分布的随机变量，叫随机样本，n是样本容量，X1,X2,..Xn的观测值x1,x2,x3...xn叫样本值。 如总体X的分布函数是F，密度是f; 则： F(x1,x2,..xn)=F(x1)*F(x2)*...*F(xn)= ;