一元多项式最大公因式的求法
摘要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位.求两个多项式的最大公因式，一般采用因式分解法和辗转相除法.本文还试图从：?1?将两种方法结合起来?2?矩阵的初等变换法?3?矩阵的斜消变换法以及数值矩阵法等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法.
关键词 因式分解法；辗转相除法；斜消变换法；矩阵初等变换 一 引言
最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般主要讨论两个多项式的最大公因式的求法，方法主要有因式分解法和辗转相除法．考虑n个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此求多个多项式的最大公因式需要多次对两个多项式进行运算．为了改进运算方法,我们给出以下的矩阵初等变换法，斜消变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽然不尽完善，但也是一种很大的突破．本文将在此基础之上对求最大公因式的方法进一步作一个较全面的探讨． 二 问题的提出
在高等代数教材中，有如下定义和定理：
定义1 如果多项式??x?既是f?x?的因式，又是g?x?的因式，那么??x?就称为f?x?与
?1?g?x?的一个公因式.
定义2 设f?x?，g?x?是P[x]中两个多项式. P[x]中多项式d?x?称为f?x?，g?x?的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：
1）d?x?是f?x?，g?x?的公因式； 2）f?x?，g?x?的公因式全是d?x?的因式.
我们约定，用?f?x?,g?x??来表示最高次项系数为1的那个最大公因式. 三 问题的解决
由定义1和定义2我们很容易得到一种求多项式的最大公因式的方法—因式分解法. 3.1因式分解法
利用两个（多个）多项式的标准分解式可以很快地得到它们的最大公因式.如：设多项
1
式f(x)与g(x)的标准分解式分别为：
f(x)?ap11(x)p22(x)?prr(x);g(x)?bp11(x)p22(x)??prr(x)
（上式a,b分别是f(x),g(x)的首项系数.p1(x)?,pr(x)）是两两不等的首项系数为1的不可约多项式，m1,?mr,n1,?nr 是非负整数，则
k2(f(x),g(x))?p1k1(x)p2(x)?prkr(x)这里ki?min(mi,ni),i?1,2,?,r
mmmnnn 例3.1.1 证明
?n?0,(x2?x?1,xn?2?(x?1)2n?1)?1
证明：
(x?1)2n?1?(x?1)(x2?2x?1)n?[(x2?x?1)?x]n(x?1)?(x?1)(x2?x?1)n???(x?1)xn
最后一项
xn?2?(x?1)xn?xn(x2?x?1)
不能被
x2?x?1
整除 故命题得证.
对于因式分解法，虽然，直观，原理简单易懂.但当多项式次数较高时，分解的过程往往比较困难，故此方法并不理想. 没有广泛适用性.
定理1 对于P[x]中任意两个多项式f?x?，在P[x]中存在一个最大公因式d?x?，g?x?，且d?x?可以表成f?x?，g?x?的一个组合，即有P[x]中的多项式u?x?,v?x?使
d?x??u?x?f?x??v?x?g?x?. ① 证明 如果f?x?，g?x?有一个为零，譬如说，g?x??0，那么f?x?就是一个最大公因式，且
f?x??1?f?x??1?0.
2
下面来看一般的情形.无妨设g?x??0.按带余除法,用g?x?除f?x?,得到商q1?x?,余式r1?x?;如果r1?x??0,就再用r1?x?除g?x?,得到商q2?x?,余式r2?x?;又如果r2?x??0,就用r2?x?除r1?x?,得出商q3?x?,余式r3?x?;如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即
??g?x?????r1?x?????r2?x????
因此在一有限次之后，必然有余式为零，于是我们有一串等式；
f?x??q1?x?g?x??r1?x?， g?x??q2?x?r1?x??r2?x?，
…………
ri?2?x??qi?x?ri?1?x??ri?x?,
…………
rs?3?x??qs?1?x?rs?2?x??rs?1?x?, rs?2?x??qs?x?rs?1?x??rs?x?, rs?1?x??qs?1?x?rs?x??0.
rs?x?与0的最大公因式是rs?x?.根据前面的说明，rs?x?也就是rs?x?与rs?1?x?的一个
最大公因式；同样的理由，逐步推上去，rs?x?就是f?x?与g?x?的一个最大公因式.
由上面的倒数第二个等式，我们有
rs?x??rs?2?x??qs?x?rs?1?x?.
再由倒数第三式，rs?1?x??rs?3?x??qs?1?x?rs?2?x?,代入上式可消去rs?1?x?,得到
rs?x???1?qs?x?qs?1?x??rs?2?x??qs?x?rs?3?x?.
然后根据同样的方法用它上面的等式逐个消去，再并项就得到这就是定理的①式. 证毕 由最大公因式的定义不难看出，如果d1?x?,d2?x?是f?x?与g?x?的两个最大公因式，那么一定有d1?x?|d2?x?与d2?x?|d1?x?，也就是d1?x??cd2?x?，c?0.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零的常数倍的意义下是唯一确定的.我们知道，两个
3
不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.
由定理1的证明过程我们找到一种求多项式的最大公因式的方法—辗转相除法. 3.2 辗转相除法
例3.2.1 求f?x?与g?x?的最大公因式：
f?x??x4?x3?3x2?4x?1,g?x??x3?x2?x?1.
解 用辗转相除法，得
11g?x??x3?x2?x?1 f?x??x4?x3?3x2?4x?1 q2?x???x?24x?q1?x? x3?321x?x 22x4?x3?x2?x 123x?x?1 22131?x2?x? 244?33r2?x???x? 44 r1?x???2x2?3x?1?2x2?2x 84x??q3?x? 33 故
?x?1 ?x?1 0 ?f?x?,g?x???x?1
为了运算的简化，我们可以在辗转相除的开始或过程中用一个非零常数去乘被除式
或者除式，而对计算结果无影响.此外，在辗转相除的过程，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任取一个作除式，另一个做被除式.并且为了减小多项式的系数，也可以将被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变((f(x),g(x))的结果.
x2xnx2xn?1???例3.2.2 设f(x)?1?x?,g(x)?1?x? ???2!n!2!(n?1)!求f(x),g(x)的最大公因式d(x).
xn解：?f(x)?g(x)?是d(x)的倍式
n!xnm而的因式只有两种可能：或是常数c，或是x(1?m?n).
n! 4
但是
x不整除f(x)，也不整除g(x)
?d(x)?c,即f(x)与g(x)互素
辗转相除法具有可操作性，较因式分解法适用范围更广，有具体的格式进行操作. 但当已知的多项式次数较高时或者多项式的个数较多时，辗转相除次数较多显得十分麻烦；在求u?x?,v?x?时，辗转相除的过程不能用一个非零的常数去乘除式和被除式，运算困难. 3.3 因式分解法和辗转相除法
在辗转相除法的运算中，ri(x)(i?1,2?s)都是f(x),g(x)的最大公因式的倍式.这
样，只要发现某一ri(x)能较快的因式分解，就可用此分解式中不可约因式试除f(x),g(x)而得到最大公因式 例3.3.1
f(x)?2x17?5x16?5x15?6x14?2x13?x12?x11?x10?10x9?10x8?9x7?3x6
?11x5?10x4?12x3?6x2?6x?6
g(x)?2x15?7x14?x12?x11?x10?10x7?x5?4x4?14x3?2x?4
计算f(x),g(x)的最大公因式. 解：由辗转相除法得
g(x)?2x15?7x14?x12?14x3?2x?4 f(x)?2x17?5x16?5x15?10x9?10x8?9x7?3x6r1(x)?x11?2 x2?x?1?q1?x? x11?x10?10x7?x5?4x4? 6x14?2x13?x12?x11?x10? f(x)?(x2?x?1)g(x)?(x11?2)
?r1(x)?x11?2是有理数域上的不可约多项式
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