3.６ 矩阵的斜消变换
基于矩阵的初等行，列变换法，我们思考是否存在一种运算过程来避免多项式之间繁琐的除法运算．
定义３ 设fi(x)?ai1x?ai2xnn?1（至???ai,n?1x?ain,(i?1,2,?,m)为m个多项式
少有一个多项式不为零），A?(aij)为m?n阶矩阵，A为与多项式fi(x)，（i?1,2,?,m）相对应的矩阵.
若A的第i行从左向右第一个不为零的元素为ai,s?1,,第j行的第一列元素aj1不为零
(i?j),则称将第i行的n-s个元素：ai,s?1,ai,s?2,?,ain乘以c斜加到第j行元素：
aj1,aj2,?,aj,n?s上的变换为第i行到第j行的左斜消变换记为LSji(C)；
若A的第i行从右向左第一个不为零的元素为ais，1?s?n,第j 行的第n列元素
ajn(i?j)不为零，则称将第i行的s个元素：ai1,ai2,?,ais乘以c斜加到第j行元素：
?saj,n?s?1,?,ajn上的变换为第i行到第j行的右斜消变换，记为Rnji(C)
此外，对A施行矩阵的第一，第二种初等行变换以及左斜消变换和右斜消变换不改变与其对应的这些多项式的最大公因式，并且总可以将矩阵A化简成如下形式的矩阵：
?1b2??00C=?????00?此时
?bi?1???0? ?????0??(f1(x),f2(x),?fm(x))?xi?1?b2xi?2??bi?1.
例3.6.1 用矩阵的斜消变换求
f(x)?x4?4x3?2x2?4x?2 g(x)?x3?4x2?x?6 h(x)?x3?2x2?x?2
求(f(x),g(x),h(x))
4?3?1?2?3??1?42?00??L1(?1),L0(?1)??1223?416????????00?224? 解 A=?01?01?2?12??0?1?2?12????? 11
?01?2?3???L132(1)0?112????????1?2?12????0?1?1???0L12(1),L0L132(?1)21(?1)????????112??????000?????1?1??11?????0000????? ?00??00?????所以，(f(x),g(x),h(x))?x?1
?01?2?3??1?2?3?????0?112?112??????0?11??112?2??????0?1?1???1?1?????L021(2)???022???22????00??000?????我们约定，用左斜消变换化简矩阵时，若所得矩阵的前若干列元素全为零时，要及时消去这些列再做变换；用右斜消变换化简矩阵时，若所得矩阵的后若干列元素全为零时，要及时消去这些列再做变换.这样可以达到简化矩阵的目的.
在用斜消变换化简矩阵时，我们会发现，求某些多项式的最大公因式时，需要选择其适用的是左斜消变换还是右斜消变换.并且左右斜消变换是不能同时使用的，这就给我们解决某些问题时带来了局限性. 3.７ 数值矩阵法
?an若用矩阵A=??b?nan?1?a1bn?1?b1a0??表示多项式：f(x)?anxn?an?1xn?1???a0 ?b0?g(x)?bnxn?bn?1xn?1???b0的待求最大公因式.则对A施行初等行变换，不改变两个多
项式的最大公因式.
?an当a0?0时，??b?nan?1?a1bn?1?b1a0??an????0b0???an?1?a1bn?1?b1a0??，即它们表示的b0??两个多项式的待求最大公因式相同.
利用以上结论，就可以利用矩阵的初等行变换求出一元多项式组的最大公因式，其一般步骤为：
㈠ 将系数矩阵A利用初等行变换化为阶梯矩阵B.
㈡ 考察矩阵B，若出现元素都是0的行，则去掉该行；若某行变为
?00?k??k?0?时，多项式的最大公因式为1，计算终止；若出现每一行的列数最大
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的非零元素不在同一列时，则施行右对齐；若每一行的列数最大的非零元素在同一列时，则施行左对齐；将B变成非阶梯矩阵，然后，以非零元素最少的行将其再化成阶梯矩阵.
㈢ 反复循环上述步骤，直到A变为1??n?1?型矩阵，则对应的多项式即是③的最大公因式.
例3.7.1 设f(x)?x3?3x2?2x?6,g(x)?x3?x2?2x?2,(f(x),g(x))=？ 解：对矩阵A=???1?3?26?施行初等行变换及替换： ???11?2?2??1?3?26??1?3?26???A?????04??0?8??010?2???
10?20010?2??????????010?2??010?2???????010?2????0000?? ??故，(f(x),g(x))?(x2?2,0)?x2?2 例
3.7.2
f(x)?x4?4x3?2x2?4x?3
g(x)?x3?4x2?x?6
h(x)?x3?2x2?x?2 求(f(x),g(x),h(x))
解 A=?0??0?21?41?313?2?1???1?2??0??0??0??4?4?2000?1?411460?12?4?241?1?3??1??6???0?02????1?4?4000100?212?1?10?4100642?420??0??3???2?? ?1?0??41?2?3?? 6??4???1?30?23106?20?? 0??3???3??1??0???1?10????2??6??3???0??0??0???0??0??1?0???0?0??0??0??0?0000001?10000?1?10?2?10?2??0?0???2???1?0???0???0?0?0000000?10000100?2?101`?? 0?0???2??0? 0???0??0??0?所以，(f(x),g(x),h(x))?x?1
数值矩阵法根据多项式与其系数间的一一对应关系，构造多项式组的系数矩阵A，再
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由多项式最大公因式的性质导出一种单纯运用数字矩阵（系数矩阵A）的初等变换求得最大公因式的方法，直观明了，简单易行. 但它不能像矩阵法和矩阵的初等行（列）变换法可以求得最大公因式的同时求得最大公因式的线性表达式.
因此，我们可以依照以上的对比结果根据多项式的表达式特征、多项式的个数以及是否需要得到最大公因式的线性表达等情况的不同,灵活选择不同的方法来求最大公因式. 参考文献
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