???(a?tb)???(1?t)a?b?,?(a?tb)??(1?t)a?b??0， ?(2t?1)(3?t)?4t?(1?t)?0，解得t?2?6；
（2）xa?b?(x?2,2,x),a?yb?(1?2y,2y,1)，
(xa?b)(a?yb),?化简得：xy?1
x?22x??， 1?2y2y1a?b22(a?b)2a?bu?a?2ta?b?tb?b(t?)?a?t??18.（1）当22，∴当2时，u取最小值
bbb22222（2）当u最小时，a?tb?a?a?bb2?b
?b?(a?tb)?a?b??b?(a?tb)
a?bb2(b?b)?a?b?a?b?0
19.假设在直线
CC'上存在一点N，使得MN?AB'，设CN?xB'B，由题意可得
MC?12BC,A'B?A?BB',BM?N?MC?CANB,B'C'???，23Z A’ C’ B’ N C M X
B
Y AB'?MN,?AB'?MN?0，即(AB?BB')?(MC?CN)?0， ?AB?MC?BB'?MC?AB?CN?BB'?CN?0，
11?AB?MC?cos?AB,MC??xBB'?0，???4x?0,?x?，
4162A 即在直线CC'上存在一点N，
1CN?当时，AB'?MN。
820.（1）作MPBC交AB于点P，连结PN，则MP?平面ABEF，?MP?AB,MP?BN，由已知
CM=BN=a，CB=AB=BE=1，AC?2,?MP?AP?(2?a)?222?1?a,PB?a， 222MN?MP?PB?BN，
2?MN?MP?PB?BN?2(MP?PB?PB?BN?MP?BN) ?(1?222222221a)?(a)?a?2?a?a??(a?)2?， 222222222?MN?(a?221)?(0?a?2) 2222122)?，当a?时，MN?，即M、N分别移到AC、BD的中点2222（2）易求?MN?(a?时，MN的长最小，最小值为
2。 22212a,a,?a)， 2424（3）取MN的中点G，则G(?GA?(1?22122212a,?a,??a),GB?(?a,?a,??a)， 2424242411?cos????，∴二面角为????arccos。
3GA?GB321.（1）以O点为原点，以OB,OC,OD的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，设
Z D E A
O B C F X
Y GA?GBAB?a，则
F(222222a,a,0)E,?(0,a,a，)?OE?(0,?a,a)，44444422a,a,0B)， 44OF?(OE?OF1211??,??EOF?? OE?a,OF?a，?cos?EOF?322OE?OF2（2）设平面EOF的单位法向量为(x,y,z)，则
x2?y2?z2?122333333?ay?az?0 解得 (x,y,z?)(?,?,或)x(y,z?,)?(,， ,4433333322ax?ay?044
)
333n?(x,y,z)?(,?,?) 取1333又平面FOA的单位法向量
n1?(0,0,，1)?cos?n1,n2???3 33 3∴所求二面角的大小为arccos（3）
D(0,0,22222a),E(0,?a,a)，?DE?(0,?a,?a) 244446a。 ∴点D到平面EOF的距离为DE?n1?622.（1）
CC1?BD?CC1?(CD?CB)?CC1?CD?CC1?CB
?CC1?CDcos?CC1,CD??CC1?CBcos?CC1,CB?
0ABCD是菱形，?CCD??CCB?60,?CC1?BD?0，得CC1?BD； 11（2）由题意，点E是AB1的中点，则DE1?D1A1?AB11?BE1，
111?CB?CD?(B1B?BA)?CB?CD?C1C
222因为BC1?CC1?CB,BD?CD?CB，所以CB?CC1?BC1?BD，?D1E??11BC1?BD 22因为BC1与BD不共线，所以D1E与BC1,BD共面，得DE平面BDC1。 1（3）设ACBD?0，则点O为BD中点，由?BCD是等边三角形，知，CO?BD；又BC1?DC1，
得CO是二面角C?BD?C1的平面角。 11?BD，所以?COC依题意，有CO?3,C1O?C1O?(C1C?CD?DO)2
22222939?C1C?CD?DO?2C1C?CD?2CD?DO?2DO?C1C??4?1?2??2cos1200?2?2cos1200?
424222CO?OC?CC3311?， 所以C1O?，所以cos?OC,OC1??22CO31?OC
∴二面角C?BD?C1的大小是arccos3； 3AC，?BD?平面ACA，从而有BD?AC11，
（4）（理科做），由（1）已证BD?CC1，又BD?欲证AC1?面BDC1，只需证AC1?C1D即可，设CD??CC1(??0)时，AC1?C1D，不妨设CC1?0，则CD??，因为CA1?CB?CD?CC1,C1D?CD?CC1，所以由CA1?C1D?0，有
(CB?CD?CC1)(CD?CC1)?0，即?2cos600??2??cos600?1?0
?3?2???2?0，又??0,???1
所以当CD:CC1?1时，AC1?平面BDC1。