数学建模●A类习题 第 组 第 章
公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数
f(xy)和f()。又设公司的收入x?yx?y与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费
才能使利润最大。
（1）令t?x，则f(t)?f(1?t)?1。画出f(t)的示意图。 x?y（2）写出甲公司利润的表达式图解法确定这个最优值。
p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用
3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高??s28l(s?l)
（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv26s。
3MgM步作功最小。实际上，?4,l?1mm4mlMg步。4ml（3）设人体质量M，证明在速度v一定时每秒行走 n?分析这个结果合理吗？
（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。证明结果应为n?分析这个结果是否合理。
3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。潮水通过水轮机的瞬时速度可由操作者控制，那么，要生产最大能量，应如何控制潮水的瞬时速度？
3.9 为了保证病人平躺在长宽分别为p，q的病床上从病房进入手术室（如图所示），两条垂直的通道至少应宽多少？
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3.10 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）
（3）根据实际观察tan?的?值。
ksin??sin?。
ksin(???)，根据消耗能量最小的准则估计最佳?0.2，试对不同的k值（1.5，2，3）
C
? ? A
B
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第4章 数学规划模型
4.1 某饲养场用n种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m种营养成分有一个最低标准。即对i?1,?,m，要求第种i营养成分在饲料中的含量不少于bi，若每单位第j种原料
中含第i种营养成分的量为aij，第j种原料的单价为cj，问应如何配制饲料才能使成本最低？
4.2拟分配甲、
工作 乙、丙、丁四人去干 1 2 3 4 工人 四项工作，每人干且
甲 10 9 7 8 仅干一项。他们干各
乙 5 8 7 7 项工作需用天数见右
丙 5 4 6 5 表，问应如何分配才
丁 2 3 4 5 能使总用工天数最少。
4.3 某校经预赛选出A，B，C，D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？
课程 数学 物理 化学 外语
学生
90 95 78 83 A
85 89 73 80 B
93 91 88 79 C
79 85 84 87 D
4.4 某工厂生产两种标准件，A种每个可获利0.3元，B种每个可获利0.15元。若该厂仅生产一种标准件，每天可A种标准件800个或B种标准件1200个，但A种标准件还需某种特殊处理，每天最多处理600个，A，B标准件最多每天包装1000个。问该厂应该如何安排生产计划，才能使每天获利最大。
4.5 将长度为500cm的线材截成长度为78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任务的前提下，应如何截切，使得留下的余料最少？
4.6 某厂有原料甲、乙，生产四种产品A，B，C，D，各参数如下表： （1）求总收入最大的生产方案；
（2）当最优生产方案不变时，分别求出A，B，C，D的单价的变化范围； （3）当最优基不变时，分别求出原料甲、乙的变化范围。
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单位消耗 产品 原料 甲 乙 单价（万元/万件） A B C D 3 2 10 4 0 0 2 0.5 9 8 50 19 限额 （公斤） 18 3 4.7 某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：
加工时数 机床 产品 A B 有效时数 2 1 4 0 2 2 0 1 240 200 180 140 甲 乙 丙 丁 单 价 （百元/件） 2 3 （1）求收入最大的生产方案；
（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。
（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。
产品 A B 有效时数
精加工时间 2 2.4 248
4.8 已知某厂生产有关参数：
单位消耗 产品 原料 甲 乙 丙 单价（元） A B C D E 0.1 0 0.2 0.3 0.1 0.2 0.2 0.1 0 0.3 0 0.3 0 0.2 0.1 限额 （公斤） 600 500 300 4 3 6 5 8
（1）求最优生产方案；
（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；
（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；
（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。
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4.9 要从宽度分别为3m和5m的B1型和B2型两种标准卷纸中，沿着卷纸伸长的方向切割出宽度分别为1.5m，2.1m和2.7m的A1型、A2型和A3型三种卷纸3000m，10000m和6000m。问如何切割才能使耗费的标准卷纸的面积最少。
4.10 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50％的税率纳税。此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年。 证券名称 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益（％） 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 A B C D E
试解答下列问题：
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75％的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5％，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8％，投资应否改变？
4.11 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：
2～3 3～4 4时间段（时） 9 ～1010 ～1111 ～1212 ～1 1 ～2 ～5 服务员数量 4 3 4 6 5 6 8 8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
4.12 一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15％的保姆自动离职。
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
（2）如果公司在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。
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