数学建模●A类习题 第 组 第 章
4.13 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A、B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（％），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（％），售价分别为9，15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨，产品A，B的市场需求量分别为100吨、200吨。问应如何安排生产？
4.14. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？
4.15 某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。
水源B
水源A 发电站B 水库B 水库A 发电站A
已知发电站A可以将水库A的1万m的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）
水库最大蓄水量 水源流入水量 本月 下月 水库A 2000 200 130 1200 1900 水库B 1500 40 15 800 850 333水库最小蓄水量 水库目前蓄水量 请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝10千瓦时） 4.16 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）
同学甲 同学乙 同学丙 同学丁 秘书初试 13 10 20 8 主管复试 15 20 16 10 经理面试 20 18 10 15
任课教师：郑勋烨 第 11 页 共 36 页 日期：20 年 月 日
数学建模●A类习题 第 组 第 章
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨8:00，问他们最早何时能离开公司？
4.17 某工厂生产两种产品Ａ、Ｂ，分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和盈利如下表。
产品 预测销售量（万件/周） 生产率（件/小时） 单位利润（元/件） A 7 1000 0.15 B 4.5 1000 0.3
制定一合理的生产方案，要求依次满足下列目标： （1）充分利用现有能力，避免设备闲置； （2）周加班时间限制在10小时以内；
（3）两种产品周生产量应满足预测销售量，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比； （4）尽量减少加班时间。
任课教师：郑勋烨 第 12 页 共 36 页 日期：20 年 月 日
数学建模●A类习题 第 组 第 章
第5章 微分方程模型
5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？
5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus增长模型
dp(t)?0.003p(t) dt其中t以分钟计。在t其中
?0时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是0.001p2(t)，
p(t)是t时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水
域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus模型。
（2）假设在t?0是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数
p(t)，并问t??时会发生什么情况？
5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间T12放射物质的原子下降至原来的一半（T12称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
5.4 用具有放射性的C14测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生
C14。植物吸收二氧化碳时吸收了C14，动物食用植物从植物中得到C14。在活组织中C14的吸收速率恰好
与C14的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收C14，于是C14的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时C14的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生物标本现在C14的衰变速率，由于C14的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建立用C14测古生物年代的模型（C14的半衰期为5568年）。
5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：
（1）1950年从法国Lascaux古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（g?min），而活树木样本测得的计数为6.68计数（g?min），试确定该洞中绘画的年代；
（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（g?min），活数标本为
任课教师：郑勋烨 第 13 页 共 36 页 日期：20 年 月 日
数学建模●A类习题 第 组 第 章
6.68计数（g?min），试估计该建筑的年代。
5.6 一容器用一薄膜分成容积为VA和VB的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设VA?VB?(l)，每隔100s测量其中一部分溶
液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为mol/m3。试建立扩散系数，并决定2h后两部分中溶液的浓度各为多少。
5.7 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
5.8 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量s(t)的下降速度与s(t)成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费a(t)成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M）。建立销量s(t)的模型。若广告宣传只进行有限时间?，且广告费为常数a，问s(t)如何变化？
5.9 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型 （1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。 （2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
5.10 某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？
5.11 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为N0的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数RE(t)而增长或衰减，即
N(t)μeRE(t)t，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。
5.12 只考虑人口的自然增长，不考虑人口的迁移和其它因素，纽约人口满足方程
dN11?N?N2 6dt2525?10若每年迁入人口6000人，而每年约有4000人被谋杀，试求出纽约的未来人口数，并讨论长时间后纽约的
人口状况。
5.13 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为5?108，当群体中生物很
任课教师：郑勋烨 第 14 页 共 36 页 日期：20 年 月 日
数学建模●A类习题 第 组 第 章
少时，每40mm增加一倍。若开始时动物分别为107和108，求2h后群体中动物的总数。
5.14 某地有一池塘，其水面面积约为100?100m2，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。
（1）鱼的存活空间为1kg/m2；
（2）每1kg鱼每需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg； （3）鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼；
（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为2kg； （5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；
?/kg??q?0.2?0a?6a0.2￡q?0.75??/kg??（6）若q为鱼重，则此种鱼的售价为 Q??
8a?/kg??0.75￡q?1.5???/kg?1?.5￡q￡2?10a（7）该池内只能投放鱼苗。
5.15 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾．
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长l．建立单
位时间内人工肾带走废物数量的模型．
血管 血液流动方向
薄膜
人工肾
液体流动方向
5.16 在鱼塘中投放n0尾负苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加.
（1）设尾数n(t)的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比．分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解． （2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量作E，即单位时间捕获量是En(t)．问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大.
?n表示，记n任课教师：郑勋烨 第 15 页 共 36 页 日期：20 年 月 日