把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．
∴此时△FMN的面积S=故选：C．
=．
11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2表面积为（ ） A．50π B．100π
C．200π
D．300π
，AD=BC=2
，则四面体A﹣BCD外接球的
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2
，2
为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、
两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以10，2
，2
为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体， 并且x+y=100，x+z=136，y+z=164， 设球半径为R，则有（2R）=x+y+z=200， ∴4R2=200，
∴球的表面积为S=4πR2=200π． 故选C．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12．设函数f（x）满足2xf（x）+xf'（x）=e，f（2）=2）， 当x∈ ．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
23x
，则x∈=e﹣
2
=（x﹣
【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围． 【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=设|
，∴∠BOC=
；
=p+q两边平方，
=r，则O为△ABC外接圆圆心；
∵∴
=p
+q=
，
=r， =r2，
2
即p2r2+q2r2+2pqr2cos∴p2+q2﹣pq=1， ∴（p+q）=3pq+1；
2
又M为劣弧AC上一动点， ∴0≤p≤1，0≤q≤1， ∴p+q≥2∴pq≤
， =
，
∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1， 解得1≤（p+q）2≤4， ∴1≤p+q≤2； 即p+q的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a﹣4bc=0． （1）当a=2，
时，求b、c的值；
2
（2）若角A为锐角，求m的取值范围． 【考点】HR：余弦定理．
【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a﹣4bc=0．a=2，
时，代入解出即可得出．
（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出． 【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0． 当
时，
，bc=1．
2
解得．
（2）．
∴
，又由b+c=ma可得m＞0，所以．
18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号 （x，（2，（3，（3，（1，（2，（2，（2，（2，（2，（2，A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
y，z） 2，3） 2，3） 3，3） 2，2） 3，2） 3，3） 2，2） 3，3） 1，1） 2，2） （1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．
【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A， 则
．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.
；
；
；
∴随机变量X的分布列为： X P ∴
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=AD=CD=BC=CF．
1 2 = 3 ．
4 ；．
5 ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；
（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（
），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个
法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为
，此时点M与点F重合．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1， 又∵
2
2
2
，∴AB=2，
∴AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos60°=3． ∴AB=AC+BC．则BC⊥AC． ∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥CF，而CF∩BC=C， ∴AC⊥平面BCF． ∵EF∥AC， ∴EF⊥平面BCF；
（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（则C（0，0，0），A（∴
=（﹣
），
2
2
2
，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）， =（λ，﹣1，1），
，1，0），
设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，