由得，取x=1，则=（1，，），
∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量， ∴cos＜
＞=
=
．
∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，
．
∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为
20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=⊥x轴于点N，且动点M满足
（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．
【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．
（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过
，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②
相切，点A为圆C1上一动点，AN，设动点M的轨迹为曲线C．
若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．
【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）． 又圆
．
∴圆
．
与直线
即
相切，∴
由题意，∴
，得
．
，
∴，
即∴
将代入x+y=9，得曲线C的方程为
22
．
（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．
由求根公式得
∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴
．即
．（*）
．
∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0． 化简可得，
．
将（*）代入可得，即3m﹣8k﹣8=0．
22
即，又．
将代入，可得
=．
∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴
，
∴
．
（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，
联立解得，同理求得，
故
．综上，得．
21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．
（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值； （2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为
．
②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数． ∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e
a﹣1
+a．
③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a． （II）设
，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．
，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e
a﹣1
+a，
①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0． ②当a≤﹣1时，令∴
，解得：
，此时
．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1
≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，
即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立． ③当﹣1＜a＜0时，此时
，当
时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当
时，F''（x）＜0，F'（x）递减．
∴∴在
=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，
上F'（x）＞0，F（x）递增，
上F（x）＞0，显然不合题意．
又∵F（2）=0，所以在综上所述：a≤﹣1．
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为方程为ρsinθ﹣2cosθ=0． （1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y=2x，得tsinθ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．
【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ． ∴曲线C的直角坐标方程为y=2x；
（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则
，
，
2
2
2
2
2
，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标
==．
当
时，|AB|的最小值为2．
23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．
（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1），
当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3；
（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x﹣8x+15由（1）可知，
当x≤2时，﹣f（x）≥x﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣10x+22≤0，∴
2
2
2
；
当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为
．
2
2018年5月23日