北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设F为抛物线y??12x的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线l与x轴的交点为Q，4则?PQF等于( ) A．30° 【答案】D
B．45°
C．60°
D．90°
x2y22．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，
ab??????????????则双曲线的离心率e为( ) F1F2在F1P上的投影的大小恰好为|F1P|且它们的夹角为，6A．
2?1 2B．3?1 2C．3?1
D．2?1
【答案】C
y2?1长轴的端点，3．若双曲线的顶点为椭圆x?且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，22则双曲线的方程是( ) A．x2?y2?1
B．y2?x2?1
C．x2?y2?2
D．y2?x2?2
【答案】D
4．在抛物线y?x2?ax?5(a?0)上取横坐标为x1??4，x2?2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2?5y2?36相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A．(?2,?9) 【答案】A 5．抛物线
B．(0,?5)
C．(2,?9)
D．(1,?6)
y?2x2的准线方程是( )
1 2B． y??A．x??【答案】D
1 2C． x??1 8D．y??1 86．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为( )
x2y2A． +=1
1612x2y2C． +=1
84【答案】C
x2y2B． +=1
128x2y2D． +=1
124
x2y21?57．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率e?，点A与F分别是双曲线的左顶点和
2ab右焦点，B（0，b），则∠ABF等于( )
A．45° B．60° 【答案】C
2C．90° D．120°
8．方程x=1?(y?1)所表示的曲线是( )
A．四分之一圆 C．半个圆 【答案】C
9．如图，过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若BC?2BF，且AF?3，则此抛物线的方程为( )
B．两个圆 D．两个半圆
3x 29C．y2?x
2【答案】B
A．y2?10．抛物线
B．y2?3x D．y2?9x
y2??4x 的准线方程是( )
B．y??1
C．x?1
D．x??1
A．y?1 【答案】C
11．已知P是抛物线值为( ) A． 5 【答案】A
y2?4x上一动点，F是抛物线的焦点，定点A(4,1)，则|PA|+|PF|的最小
B． 2 C．
17
D．
10
12．动点在圆x＋y=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是( )
A．（x＋3)＋y=4
2
2
22
B．（x－3)＋y=1
22
322221C．（2x－3)＋4y=1 D．（x＋ )＋y=
22【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
x2y213．设F1，F2分别是以曲线2?2?1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使?F1AF2?90?，
ab且|AF1|?3|AF2|，则双曲线离心率= 。
10 22【答案】
14．若直线y?kx?1与双曲线x?y2?4始终有公共点，则k取值范围是 。
【答案】?1,?5 22215．已知双曲线C:x?y?1(a?0,b?0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的
a2b2交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为____________．
【答案】
2?1
16．抛物线C的顶点在原点，对称轴为y轴，若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，
y1)，B(x2,y2)，且x1x2=-2，则抛物线C的方程为____________。
2
【答案】x=2y
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
x2y21C:2?2?1ab17．已知椭圆经过点（0，3），离心率为2，直线l经过椭圆C的右焦点F
交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E. (Ⅰ）求椭圆C的方程；
??????????????????? A?A?FMB,BF??(Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且M，当直线l的倾斜角变化时，探求
的值是否为定值？若是，求出
???的值，否则，说明理由；
(Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
【答案】 (Ⅰ)依题意得b=3，e?c1222?，a?b?c，∴ a=2，c=1， a2x2y2 ∴ 椭圆C的方程??1.
43(Ⅱ)因直线l与y轴相交，故斜率存在，设直线l方程为：y?k(x?1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，又F坐标为 (1，0)，设l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),2222由? 消去y得(3?4k)x?8kx?4k?12?0， ?x2y2?1,???438k24k2?12， ?x1?x2?,x1?x2?223?4k3?4k又由 MA??AF, ∴(x1,y1?k)??(1?x1,?y1)，
???x1x,同理???2， 1?x11?x2x1xx?x?2x1?x2， ?2?121?x11?x21?(x1?x2)?x1?x2?????88k2/(3?4k2)?2(4k2?12)/(3?4k2)?? ?222231?8k/(3?4k)?(4k?12)/(3?4k)8. 3(Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥x轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于
所以当直线l的倾斜角变化时，???的值为定值?FK的中点N??5??5,0?，猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N?,0??，
?2??2?证明：由（Ⅱ）知A(x1,y1),B(x2,y2)，?D(4,y1),E(4,y2)， 当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N??5?,0?, ?2??lAE:y?y2?y2?y1?(x?4)，
4?x1当x?5y?y1?3?2(4?x1)?y2?3(y2?y1)时，y?y2?2 ?????24?x1?2?2(4?x1)?2(4?x1)?k(x2?1)?3k(x2?x1)?8k?2kx1x2?5k(x1?x2) ?2(4?x1)2(4?x1)?8k(3?4k2)?2k(4k2?12)?5k?8k2??0. 22(4?x1)?(3?4k)∴点N??5??5?,0?在直线lAE上，同理可证，点N?,0?也在直线lBD上； ?2??2?∴当m变化时，AE与BD相交于定点??5?,0?， ?2?，
18． 已知双曲线
．
(1）求双曲线的方程；
的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，
(2）设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若l的斜率．
【答案】（1）由条件知
， ，
，求直线
，
∴，代入中得，
∴，．故双曲线的方程为，∴可设直线l的方程为，即
．设
．
，
得
(2）∵点F的坐标为令
，得
，则由
，即，即
∵，∴，得，．
故直线l的斜率为．
（
）与曲线
交于不
x2y2119．已知椭圆2?=1 (a?3）的离心率e?. 直线
2a3同的两点M,N,以线段MN为直径作圆
⑴求椭圆的方程； ⑵若圆与,圆心为
． ，且的面积为轴相交于不同的两点的标准方程.
5，求圆2