【答案】（1）∵椭圆的离心率
.
∴ 椭圆
的方程为
, ∴ . 解得
．
．
(2）依题意，圆心为
由∵ 圆
∴
与，即
得. ∴ 圆的半径为
到
轴的距离
． ，
轴相交于不同的两点
． ∴ 弦长
，且圆心
． ∴
.
∴ 圆
的标准方程为
的面积
．
2A(a,0)y?x?1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点． x20．过轴上动点引抛物线
(1）若切线AP，(2）求证：直线
AQ的斜率分别为k1和k2，求证： k1?k2为定值，并求出定值；
PQ恒过定点，并求出定点坐标；
????????S?APQ?最小时，求AQ?AP的值． (3）当???|PQ|
【答案】（1）y'?2x，lAP:y?2xp(x?a)， 即yp同理
?2xp(xp?a)，即yp?2xpa?2，
yQ?2xQa?2，所以lQP:y?2xa?2。联立PQ的直线方程和抛物线方程可得：
x2?2xa?1?0，所以xpxQ??1,xp?xQ?2a，所以k1?k2?2xp?2xQ??4
(2）因为lQP:y?2xa?2，所以直线PQ恒过定点(0,2)
(3）S?APQS?APQd2a2?2a2?1d2????PQ?，所以???，设t?4a?1?1，所?2|PQ|224a2?14a2?1S?APQt2?323??以???，当且仅当t?3取等号，即a??。 ?24t2|PQ|????????2
因为AQ?AP?(xp?a,yp)?(xQ?a,yQ)?xpxQ?a(xp?xQ)?a?ypyQ因为
ypyQ?(2xpa?2)(2xQa?2)?4a2xpxQ?4?4a(xp?xQ)?4a2?4
????????92所以AQ?AP?3a?3?2S
21．双曲线C的中心在原点，右焦点为F?(Ⅰ）求双曲线C的方程；
(Ⅱ）设直线l：y?kx?1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB 为直径的圆过原点。
【答案】（Ⅰ）易知 双曲线的方程是3x2?23???3,0?，渐近线方程为 y??3x. ???y2?1.
得
(Ⅱ）① 由?2?y?kx?1,?3x?y?1,22?3?k?x22?2kx?2?0，
由??0,且3?k设A?0，得?6?k?6,且 k??3.
?x1,y1?、B?x2,y2?，因为以AB为直径的圆过原点，所以OA?OB，所以
?2k2xx?，， 12k2?3k2?3x1x2?y1y2?0.
又x1?x2?所以 所以
y1y2?(kx1?1)(kx2?1)?k2x1x2?k(x1?x2)?1?1，
2?1?0，解得k??1. 2k?3，经过点（3，—2）与向量（—1，1）平行的直线l
22．已知椭圆
交椭圆C于A，B两点，交x轴于M点，又(I）求椭圆C长轴长的取值范围；
(II）若，求椭圆C的方程.
【答案】（I）设直线l与椭圆C交于由
点.
将 ①
由韦达定理，知
得
对方程①由
④
⑤
将④代入⑤，得意又由
及④，得
因此所求椭圆长轴长的取值范围是 (II）由（I）中②③得，
⑥
联立④⑥，解得
∴椭圆C的方程为