1y1?2ysin?cos,(x,y)?(0,0)?222222?fy(x,y)?? x?yx?yx?y?0,(x,y)?(0,0)?(3)为了考察f(x,y)在(0,0)点是否可微，我们来考察
?z?[fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y]是否为??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小，因为
0??z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?x?ysin?1(?x)2?(?y)2??x?y2?x?y??x?y2(?x)2?(?y)2??0(?x?0,?y?0)，
故lim??0?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]??0，即?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y?o(?)
所以f(x,y)在(0,0)点可微。 （4）由于
(x,y)?(0,0)limfx?(x,y)?x(y,?)(0,0)lim(2xsin1x?y22?xx?y22cos1x?y22)不存在，所以fx?(x,y)在(0,0)点不连续。
【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，
既是重点也是难点，需掌握。
【评注2】若f(x,y)在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别f(x,y)在（0,0）点是否可微，需考察?z?[fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y]是否为??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小。
【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。 【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。
例 7设函数f(x,y)?|x?y|?(x,y),其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续,证明: f(x,y)在点(0,0)处可微的充要条件为?(0,0)?0。（2007-天津赛）
证明：（必要性）已知f?x,y?在点(0,0)处可微，故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而
fx??0,0??limx?0x?0??x,0??0???0,0?x??x,0??lim， x?0xx
其中lim?x?0|x|?(x,0)??(0,0),xx?0lim?|x|?(x,0)???(0,0),由于fx??0,0?存在，故x??0,0??0。
（充分性）已知??0,0??0，类似于必要性的过程容易推出
fx?(0,0?)fy?0,lim?(0,欲证0f?x,y?在点(0,0)处可微，只需证
=lim|x?y|?(x,y)x?y22f(x,y)?f(0,0)?fx?(0,0)x?fy?(0,0)yx?y22(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?0.
注意到： |x?y|x?y22?|x|x?y22?|y|x?y22?2，
所以 0?x?y??x,y?x?y22?2??x,y?。
x?y??x,y?x?y22又
(x,y)?(0,0)lim??x,y????0,0??0，由夹逼定理知
(x,y)?(0,0)lim?0。
从而f?x,y?在点(0,0)处可微，并且df?x,y??0。
【评注】此题是一元函数中的重要结论“设?(x)在x?a点连续，则
f(x)?|x?a?|(x在)x?a可导的??(a)?0”在多元函数中的推广，但证明过程
要比一元函数复杂的多。
题型2 多元函数的偏导数的计算 1. 复合函数求导
例8 设函数F(x,y,z)??xy0sint?2Fdt，则21?t2?x?x?0y?2（2011-研）
解：
?Fysinxy，为了计算简便，由偏导数的定义，可得 ?2?x1?(xy)?2F?x2x?0y?22sin2x4(1?4x2)cos2x?16xsin2x?()??21?4xx?0(1?4x2)2?4。
x?0【评注】fx??x0,y0??fx??x,y?x?x0,y?y0同时fx??x0,y0??df(x,y0),dx
fy??x0,y0??fy??x,y?x?xy?y00??x0,y0??，同时fydf(x0,y)， dy
利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者。
?x??y??例9设z?f?xy,?g??，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续?y??x????2z?2z导数。求2,。（2005-天津赛）
?x?x?y 【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。
解：
?z?1?y?yf1?f2?2g?， ?xyx2??2z?1??1??1??2y?y???y??yf11?yf12???y??yf21?yf22???x3g?x4g?x2???? 2y??1?2y?y2f11?2f12?2f22?3g??4g??yxx??x?2z1?1?1y????x???????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??1122122?212?2223???x?yy?yyx??y?x
y?1??x?1?f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx【评注1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵。常见
的链式法则有：
①z?f(u),u??(x,y)：
?zdz?u?zdz?u??,?? ?xdu?x?ydu?ydz?zdu?zdv?? dx?udx?vdx③z?f(u,v),u??(x,y),v??(x,y)：?z??z??u??z??v，?z??z??u??z??v
?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y④z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)：?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?
?x?u?x?y?u?y?vdy②z?f(u,v),u??(x),v??(x)：
其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③。
???f21??, 注意将此两项进行合并. 【评注2】若f具有二阶连续偏导数，则f12例10设z?f[?(2xy,x2)]，这里f可导且?具有连续偏导数，求解：
?z????2y??2??2x? ?f?[?(2xy,x2)]??f?[?(2xy,x2)]???1?x?x?z?z,. ?x?y??y?2?)?f?[?(2xy,x2)] ?2(x?1
?z?y?f?[?(2xy,x2)]????y?f?[?(2xy,x2)]???1??2x??2??0? ?2x??1??f?[?(2xy,x2)] 【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号。
例11设u?f(x,y,z)，又y??(x,t)，t??(x,z)，求?u?u?x，?z. 解： 由上述表达式可知x,z为自变量, 所以
?u?x?f?yx'?fy'?x?fx'?fy'??x'??t'?x'??fx'?fy'?x'?fy'?t'?x' ?u?z?f?yy'?z?fz'?fy'??t'?z'??fz'?fy'?t'?z'?fz'。 【评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。
例 12 设变换???u?x?ay?把方程?2z?2z1?z?2z?v?x?2y?x2?y?y2?2?y?0化为?u?v?0，试确定a.（2003-天津赛）。
【分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好z,?z?x,?z?y与中间变量u,v及自变量x,y的树形关系： 解：计算一、二阶偏导数： ?z?x??z?u?z?v?z?z?u??x??v??x??u??v，
?z?z?u?z?v?za?z11?y??u??y??v??y??u?2y??v?y??y?a?2??z?u??z??v??， ?2z?2z?2z?2?x2??u2?2?u?v?z?v2，
?2z1?322222?a?z?y2??2y??2??u??z??v???1?y??z??u?a?za?z1?4y??u?v?y??， ?2?v2?y??代入方程?2z?2z1?z?x2?y?y2?2?y?0，得到
?2z?2z1?za2?2?x2?y?y2?y?(1?4)z?2z2??u2?(2?a)?u?v?0
?a2?0?1?以题意有?，所以a??2. 4?2?a?0?例13设二元函数u?x,y?具有二阶偏导数，且u?x,y??0，证明u?x,y??f?x?g?y??2u?u?u的充要条件为：u。（2009-天津赛） ???x?y?x?y证明：（必要性）若u?x,y??f?x?g?y?，
?u?u?2u?2u?u?u则显然有u。 ?f??x?g?y?，?f?x?g??y?，?f??x?g??y?，???x?y?x?y?x?y?x?y???u??u?u?2u?u?u（充分性）若u，则u?????0， ???y??x??x?y?x?y?x?y由于u?x,y??0，所以
?u??u?u??u?u?u??????????x??y??x??x?y??0，
?y?u?u2????即
?lnu?lnu???lnu????x?。从而有 不含y，故可设???0，因此
?x?x?y??x?lnu????x?dx?ψ?y?，
u?e???x?dx?ψ?y??e???x?dx?eψ?y?，
即u?x,y??f?x?g?y?。
【评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运
算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功。
2. 隐函数求导
xz（0,1,1）例14 设有三元方程xy?zlny?e?1，根据隐函数存在定理，存在点
的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)；
（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y)； （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y)；