（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)。（2005-研）
解：应选[D]
令F（x,y,z)?xy?zlny?exz?1,
显然F点的一个邻域内具有连续的偏导（0,1,1）（x,y,z)?xy?zlny?exz?1在
xz（数导数，且F(0,1,1）=0,而Fx0,1,1)?y?ze(0,1,1)?2?0,
?0,
F（y0,1,1)?x?zxz（??1?0,Fz0,1,1)??lny?xey(0,1,1)(0,1,1)故可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)。 【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解。
?2z?2z例15设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数，求：2，（2010-。
?x?x?yz天津赛）。
【分析】此例是最基本的隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式：
?z??Fx?z??Fy，也可以方程F(x,y,z)=0两边分别对x，y求偏导数。 ?xFz?yFz解1：利用隐函数的求导公式。
令F(x,y,z)=z+ez?xy，则由隐函数的求导公式得
Fy?Fx??z?yy?z?xx?????，， ?????zzzz?x1?e1?e?y1?e1?e??FzFzzz?z?z1?e?ye?ye?2z?y2ez?2z1?xyez?y?x， ?????2232z3zzzz?x?y?x1?e1?e1?e1?e1?ez????????解2:将等式z?ez?xy两边分别对x，y求偏导数：
?z?z?zy?ez?y，?， z?x?x?x1?e?z?z?zx?ez?x，?， ?y?y?y1?ezzz?z?z1?e?ye?2z?y2ez?2z1?xyez?y?x，。 ?????z3z2z3z2z?x?y?x21?e1?e1?e1?e1?e?yez????????
FF【评注】一般地，若利用?z??x，?z??y求隐函数的二阶偏导数时，应
?xFz?yFz注意到z仍然是x,y的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点。
11例16设函数z?z(x,y)是由方程F(z?,z?)?0确定的隐函数，其中F具
xy有连续的二阶偏导数，且Fu(u,v)?Fvu(v,?)2?2z?2z3?zx?xy(x?y)?y?0。(2011-北京赛) ?x2?x?y?y23求0证：x2?z?z?y2?0和?x?y11解：令G(x,y,z)?F(z?,z?)，则由隐函数的求导公式得
xy1)2Gx?F1??zx? ?? ， ??2?xGz?F1??F2?x(F1??F2?)F1?(?Gy?F2??z，由于Fu(u,v)?Fv(u,v)?0, ??????2?yGz?F1??F2?y(F1??F2?)F1?F2?F1??F2??z2?z22?y?x??y?(?)??0。 所以x22?x?y??????x(F1?F2)y(F1?F2)F1?F22F2??1y2将等式x2?z?z?y2?0两边分别对x,y求偏导数，得到 ?x?y2222?z?z2?z2?z2?z2?z，即 2x?x?y?0x?y??2x?x?x2?y?x?x2?y?x?x222?2z?z?z2?z2?z2?z，即， x?2y?y?0x?y??2y22?x?y?y?y?x?y?y?y2将上面的第一个式子两边同乘x,第二个式子两边同乘y，然后相加并注意到
22?z?2z?2z?2z2?z3?z3?zx?y?0和，得到x??xy(x?y)?y?0。 ?x?y?x?y?y?x?x2?x?y?y22
【评注】在证明第二个等式时，若先利用
?z?z、的表达式去求三个二阶偏导?x?y数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对x,y求偏导，问题便迎刃而解了。
例17 设u?f(x,y,z)，?(x2,y,z)?0，y?sinx，其中f,?具有连续的一阶偏导数，且
??du?0，求.（2002-天津赛） ?zdx【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量u,y,z都为x的一元函数。
解：三式两端同时对x求全导数得：
dudydz?f1??f2???f3?? dxdxdxdydz???2????3???0 2x?1dxdxdy?cosx dx整理可得：
??cosx??2?2x?1dz ???dx?3??cosx??2?2x?1dy???f1?cosx?f2?f3?。
?dx?3【评注】分清函数关系后，此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得
的隐函数的导数。
?u?f(ux,v?y)?u?v, f,g例18设?，其中具有一阶连续偏导数，求2?x?x?v?g(u?x,vy)【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对
x求偏导数即可。
解：方程组两端同时对x求偏导得：
??????u?u?v?f1??(x?u)?f2??()?x?x?x ?v?u?v??(?1)?g2??(2yv)?g1?x?x?x???由此可知，当(xf1?1)(2yvg2?1)?f2g1?0时有
?(xf1??uf1??1)??1)?f2?g1?g1?uf1??(2yvg2?u?v ， ? ???1)?f2?g1???1)?f2?g1??x(xf1??1)(2yvg2?x(xf1??1)(2yvg2.
题型3多元函数微分学在几何中的应用 1. 空间曲线的切线和法平面方程
?x2y2z23????例19曲线?4444在点M(1,1,1)处的切线方程为 .
?x?2y?z?0?（2003-天津赛）
??z?xy????x?yy?zz?0y?2y??解：方程组两边对x求全导数得?，解之得?，
??1?2y?z?0y?2x??z????y?2z?从而y?(1,1,1)?0,z?(1,1,1)??1，故T?(1,0,?1)。
?x??(t)??【评注】一般地，若?：?y??(t)，则在t?t0处，T?(??(t0),??(t0),??(t0))；
?z??(t)???y?y(x)若?：?，则在x?x0处，切向量T?(1,y?(x0),z?(x0))；
?z?z(x)?F(x,y,z)?0若?：?，则在M0(x0,y0,z0)点，，T?(1,y?(x0),z?(x0))（注意条件）
G(x,y,z)?0?此例题属第三种情形。
?x?cos??例20螺旋线?y?sin?(0???2?)上与平面x?y?z?0平行的切线有（ ）
?z???（A）1条； （B）2条； （C）3条； （D）4条.(2012-天津赛) 解：应选（B）
T?(?sin?,cos?,1)，n?(1,1,1)，
??依题意T?n，即?sin??cos??1?0，故?1?所以T1?(?1,0,1),T2?(0,?1,1)， 故切线方程为
?????2,?1??，
xy?1???10z?2,x?1?y?z??。
10?11?
【评注】此题的切向量属例19【评注】中的第一种情形。
例21设函数f(x,y)在点附近有定义，且fx(0,0)??3,fy(0,0)（0,0）?，1fx(0,0)??3则
(A)dz(0,0)?3dx?dy；
(B)曲面z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为（3,1,1）；
?z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))处的切向量为(1,0,3); (C)曲线??y?0?z?f(x,y)在点(0,0,f(0,0))处的切向量为(3,0,1);（2001-研） (D)曲线?y?0?解：应选(C)
函数f(x,y)在点的两个偏导数存在，并不一定能保证函数f(x,y)在点（0,0）可微，因此(A)不正确。 （0,0）由于偏导数存在不一定能保证曲面z?f(x,y)在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其在点(0,0,f(0,0))的法向量也应为（3,1,-1），故(B)不正确。
?x?xz?f(x,y)??曲线?的参数方程为?y?0，从而其切向量为(1,0,3)，故(C)y?0??z?f(x,0)?正确。
【评注】此题的概念性很强，所涉及的知识点也较多，易犯的典型错误是选
(A)。
2.空间曲面的切平面和法线方程
例22曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 。（2003-研）
?【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求?出平面方程, 而切点坐标可根据曲面z?x2?y2切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.
解 令 F(x,y,z)?z?x2?y2，则