第二章 矩阵
（一）矩阵的定义
1．矩阵的概念
由m?n个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的一个m行n列的数表
?a11a12?a1n???aa?a?21222n?A??? ?????a??m1am2?amn?称为一个m行n列矩阵或m?n矩阵
当m?n时，称A?aij??n?n为n阶矩阵或n阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用Om?n或O表示
2．3个常用的特殊方阵：
?a110?0????0a22?0?①n阶对角矩阵是指形如 A??的矩阵 ??????00?a?nn???10?0????01?0?②n阶单位方阵是指形如 En??的矩阵 ??????00?1???
?a11a12?a1n??a110?0?????0a?aaa?0??222n??2122③n阶三角矩阵是指形如 ?,?????的矩阵 ???????00?a??aa?a?n2nn?nn??n1?
3．矩阵与行列式的差异
矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“?*?”也不同，不能用错.
（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等
设有矩阵A?(aij)m?n，B?(bij)k??，若m?k，n??，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即aij?bij，则称矩阵A与B相等，记为A?B
因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.
2．矩阵的加、减法
设A?(aij)m?n，B?(bij)m?n是两个同型矩阵则规定
A?B?(aij?bij)m?n A?B?(aij?bij)m?n
注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.
由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.
3．数乘运算
设A?(aij)m?n，k为任一个数，则规定kA?(kaij)m?n
故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘
积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.
矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.
4．乘法运算
设A?(aij)m?k，B?(bij)k?n，则规定AB?(cij)m?n
其中cij?ai1b1j?ai2b2j???aikbkj (i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)
由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.
故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即AB?BA
②在AB?0时，不能推出A?0或B?0，因而也不满足消去律.
特别，若矩阵A与B满足AB?BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶
方阵.
矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.
5．方阵的乘幂与多项式方阵
设A为n阶方阵，则规定Am??AA?A ????m个特别A?E
又若f(x)?amx?am?1xmm?10???a1x?a0，则规定
f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E
称f(A)为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵
6．矩阵的转置
设A为一个m?n矩阵，把A中行与列互换，得到一个n?m矩阵，称为A的转
置矩阵，记为AT，转置运算满足以下运算律：
(A?)T?A，(A?B)T?AT?BT，(kA)T?kAT，(AB)T?BTAT
由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义
设A为一个n阶方阵，若A满足AT?A，则称A为对称矩阵，若A满足AT??A，
则称A为反对称矩阵.
7．方阵的行列式
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设A?(aij)为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式aij，称为方阵
nA的行列式，记为A
方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则
①AT?A；
n②kA?kA ③AB?A?B
（三）方阵的逆矩阵
1．可逆矩阵的概念与性质
设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足AB?BA?E，则把B
称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为A，从而A与A首先必可交换，且乘积为单位方阵E.
逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，k?0为常数，则
?1①A是可逆矩阵，且(A)?1?1?1?1?A；
②AB是可逆矩阵，且(AB)③kA是可逆矩阵，且(kA)T?1?B?1A?1；
?1?1?1A kT④A是可逆矩阵，且(A)?1?(A?1)T
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P为可逆矩阵，则PA?PB?A?B AP?BP?A?B
2．伴随矩阵
设A?(aij)为一个n阶方阵，Aij为A的行列式A?aij中元素aij的代数余子
n?A11A21?An1???AA?A?1222n2?式，则矩阵?称为A的伴随矩阵，记为A*（务必注意A*中元素排列???????AA?A?nn??1n2n的特点）
伴随矩阵必满足
AA*?A*A?AE A*?An?1 （n为A的阶数）
3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
定理：n阶方阵A可逆?A?0，且A?1?1*A A推论：设A，B均为n阶方阵，且满足AB?E，则A，B都可逆，且A?1?B，
B?1?A
例1 设A????ab??? cd??*（1）求A的伴随矩阵A
（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求A
解：（1）对二阶方阵A，求A*的口诀为“主交换，次变号”即A????c?（2）由A?矩阵
*?1?d?b?? a??abcd?ad?bc，故当ad?bc?0时，即A?0，A为可逆
1*1?d?b???A?此时A?? ?caAad?bc????1（四）分块矩阵
1． 分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.
在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.
2．准对角矩阵的逆矩阵
?A1???A??2形如 ?的分块矩阵称为准对角矩阵，其中A1,A2,?,Ar均为方阵空
?????Ar???白处都是零块.
若A1,A2,?,Ar都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且
?A1???A??2??????Ar????1?A1?1????1??A2???
?????1?Ar??（五）矩阵的初等变换与初等方阵
1．
初等变换
对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为
初等变换，
（1）交换A的某两行（列）；
（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；
（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.
注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“?”连接前后矩阵.
初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.
2．初等方阵
由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.
由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为Pij，Di(k)和