由这两个性质，可以得到AX?b的解的结构定理：
定理 设A是m?n矩阵，且r(A,b)?r(A)?r，则方程组AX?b的通解为
X??*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r
其中?为AX?b的任一个解（称为特解）,?1,?2,?,?n?r为导出组AX?0的一个基础解系.
* 2．求非齐次线性方程组的通解的方法
对非齐次线性方程组AX?b，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形
式，就得到方程组的通解.
?x3?x4?0?x1?x2?x2?2x3?2x4?1? 例2 当参数a，b为何值时，线性方程组?
??x2?(a?3)x3?2x4?b??x3?ax4??1?3x1?2x2有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.
解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：
?1?0(A,b)???0??3?12行?4行2行??-1??1行?0???0??00??12行?3行??1221?１行??-3??4行?0???0?1a?3?2b??21a?1??00?1?1?1??1221?0a?10b?1??00a?10?111??1221?0a?10b?1???1?2a?3?1?1110
当a?1时，r(A,b)?r(A)?4，有唯一解； 当a?1,b?1时，r(A,b)?3，r(A)?2，无解； 当a?1,b??1时，r(A,b)?r(A)?2，有无穷多解.
?x1??1?x3?x4?x?1?2x?2x?234此时，方程组的一般解为 ?
x?x3?3?x4?x4?令x3?k1,x4?k2为任意常数，故一般解为向量形式，得方程组通解为
??1??1??1????????1???2???2?X????k1???k2??
010???????0??0??1???????