江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷13
一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2?i)i的虚部是
2．如3?a,a2?2a,则实数a的值等于
???1x3. 若函数f(x)??(4),?1?x?0，则f(log3)?
?4?4x,0?x?1?4．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3?2S2?1,a4?2S3?1，则公比q为 5．在集合?1,2,3?中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，
则“个位数与十位数不相同”的概率是 .
6．设?,?为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m??,n??,则m?n；②若m??,n??,m∥?,n∥?，则?∥?； ③若???,????m,n??,n?m,则n??；④若m??,???,m//n,则n//?， 其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知xy?0，则|x?11|?|y?|的最小值为 2y2x8．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有
①f?6??f?7? ②f?6??f?9? ③f?7??f?9? ④f?7??f?10?
??AA9．已知角A、B、C是?ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量m?(23sin,cos2),，
22????3A则b? n?(cos,?2)，m?n，且a?2,cosB?3210．直线
xy11??1通过点M(cos?,sin?),则2?2的取值范围为 abab11．已知f(x)?sin(?x??最大值，则??__________．
)(??0),f()?f()，且f(x)在区间(,)有最小值，无
36363????12. 在区间?t,t?1?上满足不等式x3?3x?1?1的解有且只有一个，则实数t?
?????????????C1???????13． 在△ABC中，tan?,AH?BC?0,AB?(CA?CB)?0，H在BC边上，则过点B
22以A、H为两焦点的双曲线的离心率为
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14. 已知数列?an?满足：a1?m（m为正整数），an?1?an?,当an为偶数时，若a4?7，??2?3an?1,当an为奇数时?则m所有可能的取值为 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）
15.（14分）设函数f(x)??x?2x?a(0?x?3)的最大值为m，最小值为n， 其中a?0,a?R．
（1）求m、n的值（用a表示）；
（2）已知角?的顶点与平面直角坐标系xoy中的原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边经过点A(m?1,n?3)．求tan(??
16. （14分）在直角梯形PBCD中，?D??C?2?3)的值．
?2,BC?CD?2,PD?4，A为PD的中点，
???????3如下左图。将?PAB沿AB折到?SAB的位置，使SB?BC，点E在SD上，且SE?1SD，
M,N分别是线段AB,BC的中点，如右图．
（1）求证：SA?平面ABCD； （2）求证：平面AEC∥平面SMN．
17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇A、B，它们与MN的距离分别是akm与8km(a?8)，A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：
方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口； 方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并 在K点修一个公共立交出入口；
方案③：从A修一条普通公路到B，再从B修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口．
请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．
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x2y218. （16分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)和圆O:x2?y2?b2O：，过椭圆上一点P引
ab圆O的两条切线，切点分别为A,B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值； （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?900，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N，问当点P在椭圆
a2b2上运动时，是否为定值？请证明你的结论． ?22ONOM
19. （16分）对于数列{an}，定义数列{an?1?an}为{an}的“差数列”.
（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式； （II）若a1?2,{an}的“差数列”的通项为2，求数列{an}的前n项和Sn；
（III）对于（II）中的数列{an}，若数列{bn}满足anbnbn?1??21?28(n?N*),且b4??7，求：①数列{bn}的通项公式；②当数列{bn}前n项的积最大时n的值．
20. （16分）已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断，定义：
nf1(x)?min{f(t)/a?t?x}(x?[a,b])，f2(x)?max{f(t)/a?t?x}(x?[a,b])，其中
min{f(x)/x?D)表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)/x?D)表示函数f(x)在
D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”
（1）若f(x)?cosx,x?[0,?]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；
（2）已知函数f(x)?x,x?[?1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，
如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；
（3）已知b?0，函数f(x)??x?3x,是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围
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附加题
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21.（选修4—2：矩阵与变换）
? 3 3??1?
已知矩阵A＝?，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α＝1???，属于特征值1的
c d???1?
? 3?
一个特征向量为α2＝??．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
?－2?
22．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程为??4sin?，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直
1?x?t?2?角坐标系，直线的参数方程为?（为参数），求直线被曲线C截得的线段长度.
?y?3t?1??2
23．某中学选派40名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．
(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等
的概率；
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(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用?表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量
?的分布列及数学期望E?．
活动次数 2 3
参加人数 5 15 20
24．用a,b,c,d四个不同字母组成一个含n?1(n?N*)个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同. 例如n?1时，排出的字符串是ab,ac,ad；n?2时排出的字符串是
aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc，??， 如图所示.记这含n?1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an.
3n?3(?1)n（1）试用数学归纳法证明：an?(n?N*,n?1)；
4*（2）现从a,b,c,d四个字母组成的含n?1(n?N,n?2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a21的概率为P，求证：?P?.
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参考答案
一.填空题（每题5分，共70分）
422 6．①③ 7．22 8．.④ 9．10．?1,???
335?11411． 12. t?(0,3?1) 13． 2 14. 56和9
3
1.2 2．-1 3. 3 4．3 5．
二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分） 15. 解（１） 由题可得f?x????x?1??1?a用心 爱心 专心
2而0?x?3．．．．．．３分
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