所以，m?f?1??1?a,n?f?3??a?3．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 （２）角?终边经过点A?a,a?，则tan??a．．．．．．．．．１０分 ?1．a 所以，tan???????3?1?3??2?3．．．．．．．．１４分 ??3?1?tan?tan?1?33tan??tan?16. （14分）（1）证明：由题意可知，BA?PD,ABCD为正方形， 所以在图中，SA?AB,SA?2，
四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB?BC，AB?BC，
所以BC?平面SAB， ????????????3分 又SA?平面SAB，所以BC?SA，又SA?AB，
所以SA?平面ABCD，????????????6分
（2）证明：连接BD，设BD?MN?G,BD?AC?O， 连接SG,EO， 正方形ABCD中，因为M,N分别是线段AB,BC的中点，所以MN//AC， 且DO?2OG，????????9分 又SE?1SD，所以：DE?2SE，所以EO//SG 3所以平面SMN//平面EAC。???????????12分
17. （14分）解：方案①：共修(8?a)km普通公路和两个立交出入口， 所需资金为A1?50(8?a)?400?50(a?16)万元； 方案②：取B关于MN的对称点B'，连AB'与MN交于K， 在K修一个出入口，则路程最短，共需资金：
A2?50(a?8)2?122?200?50[(a?8)2?144?4]万元； 方案③：连接AB沿ABQ修路，在Q修一个出入口，共需资金： A3?50[(a?8)2?122?8]?200?50[(a?8)2?144?12]万元
由于a?8，比较大小有A1?A2?A3，（12分）故选择方案（3）．
18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆O过椭圆的焦点，圆O： x?y?b，∴ b?c，
∴ b2?a2?c2?c2， a2?2c2，∴e?（ⅱ）由?APB?90?及圆的性质，可得OP?∴OP?2b?a,∴a2?2c2
2222222． 22b，
用心 爱心 专心 - 6 -
∴e2?21，?e?1．
22（2）设0P?x0,y0?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，则
y0?y1x??1, 整理得x0x?y0y?x12?y12
x0?x1y1?x12?y12?b2 ∴PA方程为：x1x0?y1y0?b2， PB方程为：x2x0?y2y0?b2．
b2从而直线AB的方程为：x0x?y0y?b．令x?0，得ON?y?，令y?0，得
y0222a2y0?b2x0a2b2a2b2a2a2b2b2，∴为定值，???4?2，∴?OM?x?22422ONOMbbbONOMx0a2定值是2.
b19. （16分）（1）解：如an?n2（答案不惟一，结果应为an?An2?Bn?C的形式，其中A?0） .（2）解：依题意an?1?an?2n,n?1,2,3,?
所以an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
?2n?1?2n?2?2n?3???2?2n.从面?an?是公比数为2的等比数列，所以
2(1?2n)Sn??2n?1?2.
1?2（3）①解：由anbnbn?1??21?28及an?1bn?1bn??21?28，两式相除得所以数列?b2n?1?,?b2n?分别是公比为
nbn?11?, bn?121的等比数列由b4??7得b2??14. 26令n?1,由a1b1b2??21?2得b1?3?2.
n?1?126?3?2?()(n?1,且n是奇数)2所以数列?bn?的通项为b??
?nn??14?(1)2?1(n?2,且n是偶数)?2?②记数列?bn?前n项的积为Tn. 用心 爱心 专心 - 7 -
111令bnbn?1?1,得?21?()n?8?1,即()n?8?,解得n?13.
2221所以当n是奇数时，|b1b2|?1,|b3b4|?1,?,|b11b12|?1,|b13b14|?1,|b15b16|?1, 从而|T2|?|T4|??|T12|,|T12|?|T14|??.
当n是偶数时，|b2b3|?1,|b4b5|?1,?,|b12b13|?1,|b14b15|?1,|b16b17|?1, 从而|T1|?|T3|??|T13|,|T13|?|T15|?. 注意到T12?0,T13?0,且T13?b13T12?3T12?T12, 所以当数列?bn?前n项的积Tn最大时n?13.
20. 解：（1）由题意可得：f1(x)?cosx,x?[0,?]，f2(x)?1,x?[0,?]。
?1?x2,x?[?1,0)??x,x?[?1,0)??1,x?[?1,1) （2）f1(x)??，f2(x)??2，f2(x)?f1(x)??1,x?[0,1)
??0,x?[0,4]?x,x?[1,4]?x2,x?[1,4]?2 当x?[?1,0]时，1?x?k(x?1),?k?1?x,k?2; 当x?(0,1)时，1?k(x?1),?k?221,?k?1; x?1x216,k?. 当x?[1,4]时，x?k(x?1),?k?x?1516综上所述，k?。
5即存在k?4，使得f(x)是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
（3）f?(x)??3x?6x??3x(x?2)，令f?(x)?0得x?0或x?2。 函数f(x)的变化情况如下：
2 x (??,0) - 0 0 0 (0,2) + 2 0 4 (2,??) - f?(x) f(x) ? ? ? 令f(x)?0得x?0或x?3。
（i）当b?2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)?f(x)??x3?3x2，
f1(x)?f(0)?0。因为f(x)??x3?3x2是[0,b]上的“二阶收缩函数”，所以，
①f2(x)?f1(x)?2(x?0)对x?[0,b]恒成立； ②存在x?[0,b]，使得f2(x)?f1(x)?(x?0)成立。
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①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，由?x3?3x2?2x解得0?x?1或x?2。 要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1。 ②即：存在x?[0,b]，使得x(x2?3x?1)?0成立。 由x(x2?3x?1)?0解得x?0或所以，只需b?综合①②可得3?53?5。 ?x?223?5。 23?5?b?1。 2（i i）当2?b?3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，
f2(x)?f(2)?4，f1(x)?f(0)?0，f2(x)?f1(x)?4,x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)?2(x?0)不成立。
（i i i）当b?3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，
f2(x)?f(2)?4，f1(x)?f(b)?0，f2(x)?f1(x)?4?f(b)?4,x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)?2(x?0)不成立。
综合（i）（i i）（i i i）可得：3?5?b?1。 2附加题
?1?? 3 3??1??1?
21．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??可得，?? ??＝6??，
?1?? c d??1??1?
即c＋d＝6； ???????????????3分
? 3?? 3 3?? 3?? 3?
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝??，可得?? ??＝??，
?－2?? c d??－2??－2?
即3c－2d＝－2， ????????????????6分
3 3??c＝2，?
解得?即A＝??， ??????????8分
?d＝4．? 2 4?
21 －32
A逆矩阵是 11 － 32
????????
22．解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2?y2?4y?0，
即x2?(y?2)2?4，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，??????????4分 直线方程的普通方程为y?3x?1，????????????6分 圆C的圆心到直线l的距离d?1，???????????????????8分 2用心 爱心 专心 - 9 -
1故直线被曲线C截得的线段长度为222?()2?15． ???????10分
223、(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为
111C5C15C20 ????????????????4分 P?1?3C40 ?419 ????????????????5分 494(Ⅱ)由题意知??0,1,2
22C52?C15?C2061??????????????6分P0??2C40156 1111C5C15?C15C2075??????????????7分P??12C40156 11C5C205??????????????8分 P2??2C4039 ?的分布列：
x 0 1 2 P(??x) 61 15675 1565 39????????????????10分
?的数学期望:E??0?24．解（1）：证明：
61755115 ????12分 ?1??2??156156391563?3(?1)?0，所以等式正确. 4（ⅰ）当n?1时，因为a1?0，
3k?3(?1)k(k?N*,k?1)， （ⅱ）假设n?k时，等式正确，即ak?4那么，n?k?1时，因为
3k?3(?1)k4?3k?3k?3(?1)k3k?1?3(?1)k?1ak?1?3?ak?3???，
444kk这说明n?k?1时等式仍正确.
用心 爱心 专心
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3n?3(?1)n据（ⅰ），（ⅱ）可知，an?(n?N*,n?1)正确.
413n?3(?1)n13(?1)n（2）易知P???[1?]， nn434313132(1?n)，因为3n?27，所以P?(1?)?，又43427913121P?(1?n)?，所以?P?；
4349413131②当n为偶数（n?2）时，P?(1?n)，因为3n?9，所以P?(1?)?，又
434931311121P?(1?n)?，所以?P?.综上所述，?P?.
4344393①当n为奇数（n?3）时，P?
用心 爱心 专心 - 11 -