1.57251.5721.57151.57157.5 图4.11
1012.515 17.5
当x趋向于无穷时, 直线y?式. 输入
Limit[F[x],x->Infinity]
则输出
?2是函数F(x)?arctanx?1的渐近线. 下面用单调性证明不等 x? 2再研究单调性, 输入
Clear[G] G[x_]:=D[F[x],x] Solve[G[x]==0,x]
则输出
{ }
即当x?0时, 函数F(x)?arctanx?N[G[2]]
则输出
-0.05
n?即当x?0时, G(x)?F?(x)?0.于是函数F(x)?arctax1?单调减少, 趋向于. 因此,当x21无驻点. 再输入 xx?0时, 有arctanx?
1??. x2例4.11 证明不等式sinx?
2?x,当0?x??2时成立.
53
先作图, 输入
Plot[{Sin[x],2*x/Pi},{x,0,Pi/2},
PlotStyle->{GrayLeve1[0.0],Dashing[{0.01,0.01}]}]
则输出图4.12.
10.80.60.40.20.25 图4.12
0.50.7511.25
时, 两条曲线相交. 在这两点之间两函数值的差距较大. 这是需要用凹凸2性证明的不等式的特征.
输入
Clear[F,G]
F[x_]:=Sin[x]-2*x/Pi; F[0] F[Pi/2]
则输出
0 0
即在区间端点, 函数值等于0.
再输入
G[x_]=D[F[x],{x,2}]
则输出
-Sin[x]
???
即G(x)?F??(x)??sinx.注意在区间?0,?内, F??(x)??sinx?0,函数的曲线上凸. 又在区间的
?2?
?2两个端点都等于0, 因此在区间内部恒大于0, 即当0?x?时, 有sinx?x,
2?
求曲线的曲率与曲率圆
例4.12 求曲线y?x2在点(0,0)和(0.5,0.25)处的曲率与曲率圆. 输入
f5[x_]:=x^2; Clear[a,b,r];
a[x_]:=x-f5' [x]*(1+f5' [x]^2)/f5'' [x]; b[x_]:=f5[x]+(1+f5' [x]^2)/f5'' [x]; r[x_]:=(1+f5'[x]^2)^(3/2)/Abs[f5'' [x]];
54
当x?0或x??则得到曲线在任意点x处的曲率中心(a(x),b(x))和曲率半径r(x).
再输入
1/r[0] 1/r[0.5]
则输出
2
0.707107
即得到曲线在x?0与x?0.5这两点处的曲率分别为2与0.707107.
为了得到曲线、曲率圆、曲率中心与切点的图形, 输入
g1=Plot[f5[x],{x,-2,2},DisplayFunction->Identity];
g2=Graphics[{Circle[{a[0],b[0]},r[0]],Circle[{a[0.5],b[0.5]},r[0.5]]}]; g3=Graphics[{PointSize[0.02],Point[{a[0],b[0]}],
Point[{a[0.5],b[0.5]}],Point[{0,0}],Point[{0.5,0.25}]}];
Show[g1,g2,g3,PlotRange->{{-2,2},{-1,3}},
AspectRatio->1,DisplayFunction->$DisplayFunction]
则输出图4.13. 也可以作出曲率中心的轨迹线(渐屈线), 再输入
ParametricPlot[{a[x],b[x]},{x,-2,2},PlotRange->{-1,3},AspectRatio->1]
则输出为图4.14.
332.52.5221.51.5110.50.5-2-1.5-1-0.5-0.50.511.5-2-1-0.51 图4.13 图4.14 -1-1
实验习题 1. 作函数y?x2?x?4及其导函数的图形, 并求函数的单调区间和极值.
x?12?8)32. 作函数y?(x?3)(x及其导函数的图形, 并求函数的单调区间和极值. 注: 为了避免负数开方出现复数, 输入时可把函数y定义为
y[x_]:=(x-3)*((x-8)^2)^(1/3)
再进行作图和求导.
3. 作函数y?x4?2x3?72x2?70x?24及其二阶导函数在区间[-8,7]上的图形, 并求函数的 凹凸区间和拐点.
4. 分析利用泰勒展开式近似计算sin7时, 展开点x0和阶数n对计算结果的影响.
5.设h(x)?x3?8x2?19x?12,k(x)?
121x?x?,求方程h(x)?k(x)的近似根. 2855
5?x?cos??,g(x)?sinx3?.作它们在区间[0,?]上的图形. 并求方程
4???f(x)?g(x)在该区间内的近似根.
6.设f(x)?e?x2167.作f(x)?x5?x4?4x3?2x2?3x?7的图形. 用命令Nsolve, NRoots和命令FindRoot求方 程f(x)?0的近似根.
实验5 抛射体的运动（综合试验）
引言 Mathematica可以被用来探索各种各样的可能性,从而能在给定的假设条件下模拟出所 求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验,具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动. 我们意图通过这样一个范例,让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解. 在你写实验报告时,一定要清楚地解释你做了什么以及为什么要这样做,同时逐步熟悉科学报告的写作方法.
问题 根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km的前方有一敌军的坦克群正以每小时 50km向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求 每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹 发射速度可控制在0.2km/s至0.6km/s之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以 最有效摧毁敌军坦克.
说明 假设不考虑空气阻力,则炮弹的运动轨迹由参数方程
1 x(t)?(vsina)t,y(t)?(vcosa)t?gt2
2给出,其中v是炮弹发射的初速度,a是炮弹的发射角,g是重力加速度（9.8m/s2）. 上面第一个方 程描述炮弹在时刻t的水平位置,而第二个方程描述炮弹在时刻t的垂直位置.
我们假设大炮位于坐标原点（x?y?0）,y轴正向垂直向上,x轴水平指向敌军坦克. 下面 先利用Mathematica绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹. 输入 horiz[v_,a_,t_]:=v Cos[a Pi/180] t
vert[v_,a_,t_]:=v Sin[a Pi/180] t-(1/2) g t^2 g=9.8
假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为65?,输入 ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},
{t,0,50},PlotRange->{0,5000},AxesLabel->{x,y}]
得到炮弹运行轨迹的典型图形（图5-1）:
y500040003000200010001000 图5-1
2000300040005000 56
实验报告
在上述假设下,进一步研究下列问题:
(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的轨迹.
(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发 射角才能击中坦克？画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.
(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应 如何选择炮弹的发射角？从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.
(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向 前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案？
实验6 微分方程（基础实验）
实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Mathematica求微分方程及方程组解的常用命令和方法.
基本命令
1. 求微分方程的解的命令DSolve
对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve命令来求其通解或特解. 例如,求方程y???3y??2y?0的通解, 输入
DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]
则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解: y[x]?e?2xC[1]?e?xC[2]
注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要 输入两个单引号,而不能输入一个双引号.
又如,求解微分方程的初值问题:
y???4y??3y?0,yx?0?6,y?x?0?10,
????输入
Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x]
(*大括号把方程和初始条件放在一起*) 则输出
y[x]?e?3x(?8?14e2x
2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve
对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve命令来求其特解.例如 要求方程
y??y2?x3,yx?0?0.5 的近似解(0?x?1.5), 输入
NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}] (*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*) 则输出
{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}
注:因为NDSolve命令得到的输出是解y?y(x)的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系 列点x1,x2,?,xn, 计算出在这些点上函数的近似值y1,y2,?,yn, 再通过插值方法得到
y?y(x)在区间上的近似解.
????3. 一阶微分方程的方向场
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