{-2.95708,{x->2.24489}}
即得到函数?y的两个极小值和极小值点. 再转化成函数y的极大值和极大值点. 两种方法的结 果是完全相同的.
泰勒公式与函数逼近
例4.6 利用泰勒公式ex?1?x?|Rn|?0.005,问n应取多大?
x2xn????Rn(x)近似计算ex. 若|x|?1,要求截断误差2!n!因为
|Rn|?exe3xn?1?|x|n?1?,
(n?1)!(n?1)!(n?1)!所以, 欲使|Rn|?0.005, 只要取n?5即可.
输入命令
f[x_]=Normal[Series[Exp[x],{x,0,5}]]
Table[N[{x,Exp[x],f[x],Exp[x]-f[x]}],{x,-1,1,0.4}]
则输出下表结果
?xexp(x)截断误差Rn(?x)0.001212770.00005963618.64113?10?89.14935?10?80.00007080040.00161516?1.000.3678790.366667?0.600.54888120.548752?0.200.200.601.000.8187311.22141.822122.718280.8187311.22141.822052.71667
例4.7 观察函数f(x)?sinx各阶泰勒展开的图形. (1) 固定x0?0,观察阶数n的影响;
输入命令
gs25=tsin[x,0,25];gs15=tsin[x,0,15];gs05=tsin[x,0,5];
Plot[{Sin[x],gs25,gs15,gs05},{x,0,5 Pi},PlotRange->{-3,3},
PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0],RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,1]},Background->RGBColor[0.753,0.753,0.753]];
则输出图4.7.
3212.5-1-2-357.51012.5图4.7 48
(2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点x0时泰勒多项式对函数的逼近情况; 输入命令
t=Table[Normal[Series[Sin[x],{x,0,i}]],{i,1,19,2}]; PrependTo[t,Sin[t]];Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]; Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi},AspectRatio->Automatic]; Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi},AspectRatio->Automatic]; Plot[Evaluate[t],{x,-3Pi,2Pi},AspectRatio->Automatic];
则分别输出相应图形.
321-3-2-112-1-2-3
321-3-2-112-1-2-3 49
321-6-4-2-1-2-324 321-7.5-5-2.52.5 -1-2-3 通过观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况, 可以看到在[??,?]范围内y?sinx的9次泰勒多项式与函数图形几乎重合, 而在[?2?,2?]范围内y?sinx的各次泰勒多项式陆续与y?sinx的图象分离, 但其15次以及更高的泰勒多项式仍紧靠着y?sinx, 而在[?3?,3?]范围内, 其15次泰勒多项式的图形也与y?sinx的图象分离. 由此可见, 函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着次数的提高而提高, 但对于任一确定次数的多项式, 它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度.
(3) 固定n?10,观察x0的影响. 输入命令
Clear[gs0,gs5,gs12,t];gs0=tsin[x,0,10]; gs5=tsin[x,5,10];gs12=tsin[x,12,10];
Plot[{Sin[x],gs0,gs5,gs12},{x,0,6Pi},PlotRange->{-3,3},
PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0],RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,1]},Background->RGBColor[0.753,0.753,0.753]];
则输出图4.8.
3212.5-1-2-357.51012.5151图4.8 50
证明函数的不等式
例4.8 证明不等式ex?1?x,当x?0时成立. 先作图, 输入
Plot[{E^x,1+x},{x,0,3},
PlotStyle->{GrayLeve1[0.0],Dashing[{0.01,0.01}]}]
输出图4.9.
20151050.5图4.9 11.522.5
当x?0时两条曲线交于一点; 当x增加时, 两函数值的差距逐渐增大. 这正是需要用单调性证明的不等式的典型特征.
输入
Clear[F]; F[x_]:=E^x-x-1 F[0]
则输出
0
即F(0)?0.再输入
F'[x]
Solve[F'[x]==0,x]
则输出
?1?ex
{x?0}即F?(x)??1?ex,仅当x?0时, F?(x)?0.因为x?0时, ?1?ex?0,所以当x?0时, F?(x)?0.于是函数F(x)单调增加, 当x?0时, 有ex?1?x.
例4.9 证明不等式ex?1,当x?1且x?0时成立. 1?x 51
先作图, 输入
Plot[{E^x,1/(1-x)},{x,-1,1/2},
PlotStyle->{GrayLeve1[0.0],Dashing[{0.01,0.01}]}]
输出图4.10.
21.751.51.25-1-0.8-0.6-0.4-0.20.750.50.2图4.10
两条曲线在x?0相交, 在x?0的左右两函数值的差距逐渐增大. 一个证明方法是用单调性, 此时应从点x?0出发, 向两侧分别证明. 另一个证明是用最大值. 为此, 改写不等式为
ex(1?x)?1.
输入
Clear[F,g];
F[x_]=E^x*(1-x);
g[x_]=D[F[x],x]//Simplify; Solve[g[x]==0,x]
则输出
{{x->0}}
即函数有唯一驻点x?0. 再输入
D[g[x],x]/.x->0 F[0]
则输出
-1 1
即g?(0)?F??(0)??1?0,F(0)?1.由于在驻点x?0处函数的二阶导数小于0, 该点是极大值点. 又因为这是唯一驻点, 所以它是函数的最大值点. 于是, 函数F(x)?ex(1?x)在x?0取到最大
1. 值1. 因此当x?1, 且x?0时, 有ex?1?x
1?例4.10 (教材 例4.4) 证明不等式arctanx??,其中x?0.
x2先作图, 输入
Clear[F];
F[x_]:=ArcTan[x]+1/x;
Plot[{F[x],Pi/2},{x,4,20},AxesOrigin->{4,Pi/2-0.00012},
PlotStyle->{GrayLeve1[0.0],Dashing[{0.01,0.01}]}]
则输出图4.11. 52