分别是每个学期的学生总体的平均分与标准差。利用这个公式将成绩装换为T分， 可将两学期两次额成绩分别转换成T分，然后将T分转换为进步分，见附录。 以下表是取序号排列1~10的学生为例所求的进步分 学生序号 T分 进步分 T 进步分 T 进步分 T 1 56.79 13.75 50.43 10.25 51.24 10.64 49.24 2 53.24 11.67 49.08 9.63 58.24 14.71 55.40 3 39.01 6.05 35.68 5.18 44.82 7.91 43.59 4 60.74 16.51 58.34 14.77 53.70 11.92 51.41 5 53.74 11.94 58.26 14.72 54.89 12.60 52.46 6 56.03 13.28 41.43 6.76 53.19 11.64 50.95 7 53.97 12.07 51.06 10.55 39.19 6.10 38.64 8 37.78 5.71 34.76 4.97 30.82 4.14 31.28 9 46.42 8.51 51.87 10.96 47.65 9.01 46.08 10 52.76 11.42 45.42 8.13 52.41 11.23 50.27 表2
? 分数的转换：由于学期的考试难度不同，将各学期的成绩分别强制重新分布，即分
别将没学期的成绩进行排名，再算出该名次四学期的平均分mi(j=1,2,..612),则若学生在j学期的成绩名次为k,则sij就为第k名次的分数。称为标准分。转换表见附录1. 现在先已前10个学生为例（以下均以前20个学生为例） 学生序号 学期1 学期2 学期3 1 80.17086 73.60982 75.48343 2 76.76518 72.60189 81.73924 3 64.92197 61.09857 68.96101 4 83.83266 82.29952 77.88961 5 77.20141 82.12876 78.89942 6 79.41556 65.78705 77.37894 7 77.42085 74.16948 62.43962 8 63.66054 60.08061 53.90643 9 70.65604 74.97018 71.95387 10 76.29021 69.39598 76.59162 表3 学期4 75.93652 73.71727 66.35911 79.8259 82.33829 70.81329 63.06503 20.8267 72.32588 68.48538 名次 294 350 510 172 102 423 551 611 387 477 以下两种方法的计算都是建立在转换后的标准分的基础上。 4.2.2.模糊层次分析模型
? 模型原理：模糊层次分析法采用0.1～0.9标度法（见附录1）， 能够准确地描述任
意两个因素之间关于某准则的相对重要程度。且由优先判断矩阵改造成的模糊一致
矩阵满足加性一致性条件即rij?rik?rjk?12，就是R的任意两行的对应元素之差为
常数。无须再做一致性检验，另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问题，具体步骤如下：
(1).建立优先关系矩阵。优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重要性两两比较建立的矩阵，也称为模糊互补矩阵，即：
R?(rij)n?n?r11?????r?n1???r1n??? ?rnn?? 其中rij表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系。而因素间两两重要性比较
rij与因素重要程度权重wi,wj之间的关系为rij?0.5??wi?wj?β.0?β?0.5β越大
表示决策者越重视因素间重要程度的差异。将采用0.1-O.9标度给予数量表示，rij且
rij?rji=1。
(2).将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵利用加性一致性rij?rik?rjk?0.5。记
nri??k?1rik,i?1,2,?,n,做变换rij?ri?rj2n ?0.5，将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵。
n?12(3).根据公式wi?',,,1n,?12a?r?naj?11n,(i?1,2,?,n),a?ij，可以算出R的排序向量
W?(w1,w2...wn)T,a越小表示决策者越重视因素间重要程度的影响。推导出各因素
权重值。
(4).将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重。 (5).根据考评结果得出优劣次序。 ? 模型的建立与求解：
评价指标体系如上个模型的指标体系将学生学习情况的评价层定为目标层，评价中主要涉及的两个方面定为准则层，
构造优先关系矩阵并计算各因素权重值。在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵，然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下： (1).优先关系矩阵及转换成模糊一致矩阵
构造优先关系矩阵：为了显示重视每个因素间重要程度间的影响取β?0.5，
rij?0.5??wi?wj?0.5
将优先矩阵转换成模糊一致矩阵，则rij?ri?rj2n?0.5
假设令成绩进步情况相对于实际成绩的权重值为：0.3:0.7则 A-B的优先关系矩阵：??0.5?0.70.3?? A-B0.5?模糊一致矩阵：??0.5?0.60.4?? 0.5?b假设令后一个成绩均比前一给成绩权重大为则为：0.1：0.2：0.3：0.4
?0.5?0.55B1-C的优先关系矩阵：??0.6??0.65?0.5?0.525B1?C模糊一致矩阵：??0.55??0.5750.450.50.550.60.4750.50.5250.550.40.450.50.550.450.4750.50.5250.35??0.4? 0.45??0.5?0.425??0.45? 0.475??0.5?c 同样的令后一个的进步度的权重比为：2:2:6 ?0.5?B2?C的优先关系矩阵：0.5??0.7??0.5? B2?C的模糊一致矩阵：?0.5?0.6?0.50.50.70.50.50.60.3??0.3
?0.5??
0.4??0.4
?0.5??由模型原理中的步骤（3）中的计算公式，为了提高排序结果的分辨率我们取并且同时取a?n?12，根据wi?,1n?12a??na1nrij,(i?1,2,?,n),a?n?12可以算的B层相对于
j?1A层，更因素权值为w0?(0.4,0.6),C层相对于B层，各指标相对应上层相应因素的权值分别为：
?w11?(0.2250,0.2417,0.2583,0.2750) ?w12?(0.3000,0.3000,0.4000)? 所以综合权重为：
k=?0.4*w11,0.6*w12?=(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)
各因素对综合评价的影响权重
综合评价 即如下面的关系图：
第一学期成绩 0.0900 第二学期成绩 0.0967 第三学期成绩 0.1033 第四学期成绩 0.1800 第二学期进步度 0.1800 第三学期进步度 0.1800 第四学期进步度 0.2400 因此对于学生i学习状况的综合评定定量表示如下：
Ci?k1?si1?k2?si2?k3?si3?k4?si4?k5?ci5?k6?ci6?k7?ci7
进步度：考虑到学生的基础不同 算出每个学生的三个进步度,进步度是cij=再由学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ?sij?sij?1?sij?1*si，j?2,3,4
学期1 80.171 76.765 64.922 83.833 77.201 79.416 77.421 63.661 70.656 76.290 85.103 65.689 78.134 77.626 69.993 71.721 76.201 56.143 68.445 84.629 学期2 73.610 72.602 61.099 82.300 82.129 65.788 74.169 60.081 74.970 69.396 81.022 68.684 72.363 74.043 70.813 70.349 76.997 55.039 71.844 78.671 学期3 75.483 81.739 68.961 77.890 78.899 77.379 62.430 53.906 71.954 76.592 82.585 69.603 80.099 75.937 77.460 75.796 83.328 62.333 76.227 79.003 20个学生为例，对他们成绩的综合评定如下表：
进步 进步 进步 名学期4 度2 度3 度4 总评 次 75.937 -6.244 1.942 0.458 29.288 7 73.717 -4.133 9.591 -7.479 29.154 8 66.359 -3.848 8.408 -2.465 25.939 17 79.826 -1.481 -4.338 2.013 31.207 4 82.338 5.1150 -3.151 3.4930 32.713 1 70.813 -12.59 12.924 -6.224 27.363 13 63.065 -2.909 -10.96 0.694 24.757 18 20.827 -2.790 -5.099 -30.48 10.525 20 72.326 4.425 -2.916 0.375 28.853 10 68.485 -6.569 7.537 -7.693 26.871 14 65.325 -3.765 1.515 -16.41 26.411 15 65.501 3.072 0.901 -3.970 26.252 16 80.758 -5.750 8.321 0.640 31.238 3 73.444 -3.474 1.925 -2.470 28.684 11 77.379 0.866 6.937 -0.077 30.505 6 80.906 -1.428 5.783 5.035 31.413 2 77.010 0.819 6.445 -5.943 30.725 5 60.665 -1.151 7.759 -1.567 23.876 19 72.772 3.5915 4.412 -3.278 29.131 9 71.436 -5.522 0.3314 -7.512 28.006 12 表4 由表4的计算结果可看出，5号同学的综合得分最高，为32.71295，说明其学习状况在这20名同学中最好，而且其进步度也在提高。而8号同学的综合得分最低且为10.52521，说明他在这20名同学中学习状况最差，成绩一直呈下滑趋势，老师应该采取必要的措施，帮助该同学尽快摆脱这种状况。所以，由以上模型，可以对所有的学生的四个学期的成绩进行综合评定，来说明他们的学习状况。 学生的整体情况可如下图来体现：
总体分布350300250200150100500>=3020~30>=3020~3010~20<1010~201<10
上面这个表再次说明学生的学习状况整体是不错的达到中上等水平的同学占大部分，但是仍有少部分学生的总评分是比较小的，因此老师、学校应该加强对这部分同学的关心与注重。
4.2.3.灰色关联分析法
? 模型原理：灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度,亦即“灰
色关联度”,作为衡量因素间关联程度的一种分析方法。具体步骤如下： (1).选择母指标:可选取对方案效益影响最重要的指标作为母指标；
(2).对指标值进行处理：由于各指标的量纲不同，应对其均值化处理或初值化处理； (3).计算关联系数：yi(j)?a?b??i(j)?b?，其中：?i(j)?xi(j)'?x0(j)'，i?1,2,?m，
j?1,2,?n,a?minmin??i(k)?，b?maxmax??i(j)?，??0.5
1?j?n1?i?m1?j?6121?i?5(4).求关联度：ri?1nn?j?1yi(k)，i?1,2,?m
(7).排序：因素间的关联程度主要是用关联度的大小次序描述, 而不仅是关联度的大小。因此必须按ri的大小依次排序, 即得关联序。
? 模型建立与求解：
灰色关联分析法利用灰色关联度来描述因紊间关系的强弱、大小和次序，但把各项指标等权划分，不能显示出各指标的重要性差异。而模糊层次分析法引入了模糊一致矩阵，克服了层次分析法中判断矩阵的一致性与人类思维的一致性间存在的显著差异，减小了主观影响，可以得到较为客观的综合评价结果。 (1).选择母指标：模型一求得的权重
W?(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)'中最大的指标c7为母指标，记xo
(2).指标的规范化处理：
利用数据处理后得到的学生成绩和进步分，再对其进行规范化处理，使其无量纲、
无数量级的差别。处理方法为：先分别求出每个指标sij中的最大、最小值，再采用