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第一章 行列式
1．逆序数 1.1 定义
n个互不相等的正整数任意一种排列为：i1i2???in，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不
同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用?数字的个数之和。 1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ?2证明如下：
设排列为a1?alab1?bmbc1?cn，作m次相邻对换后，变成a1?alabb1?bmc1?cn，再作m?1次相邻对换后，变成a1?albb1?bmac1?cn，共经过2m?1次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于?2故原命题成立。
2．n阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）?倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
评 注 对性质4的重要拓展： 设n阶同型矩阵，
n?i1i2???in?表示，??i1i2???in?等于它所有数字中后面小于前面
???1??1。
???1??1，也就是排列必改变改变奇偶性，2m?1次相邻对换后?2???1?2m?1?1???1??1，
A??aij?; B??bij??A?B??aij?bij?，而行列式只是就某一列分解，所以，A?B应当
是2个行列式之和，即A?B?A?B。
评 注 韦达定理的一般形式为：
nn?1n?2nan?1an?2nna???a0?0??xi??; ?xixj?; ?xi???1?0ananani?1i?j?1i?1nanx?an?1x?an?2x
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一、行列式定义 1．定义
a11a21?an1a12a22?an2????a1na2n??ann?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
其中逆序数 个数.
后面的j1小的数的个数 ?j2后面比j2小的数的个数???jn?1后面比jn?1小的数的??j1j2?nj??j12．三角形行列式
a110?0a12a22?0????a1na11a2na?21??annan10a22?an2?0?0 ?a11a2?2ann
???ann00?an1?0?????ann?1a1na11a2na?21??annan1a12a22?0?a1nn?n?1??0???n?n?1??2?1?????1?a1na2n?1?an1???1?2a1na2n?1?an1
???0二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理
ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn??ikA a1jA1k?a2jA2k??anjAnk??jkA
三、重要公式 设A是n阶方阵，则 1．2．3．
AT?A
?1A?1?AA*?A
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4．kA?knA
5．
AB?AB，其中B也是n阶方阵
6．设B为m阶方阵，则
AC0B?A0CB?AB
0ACAmnBC?B0???1?AB
7．范德蒙行列式
11?1x1x2?xnx21x22?x2n??xi?xj?
????1??j?i?nxn?11xn?1n?12?xn四．有关结论 1．对于
An?n,Bn?n
(1)
A?0??A?0 (2) A?B??A?B
2.
A为n阶可逆矩阵
行变?A?E?A?E（A与E等价）
列变?AX?0只有惟一零解
?AX?b有惟一解（克莱姆法则） ?A的行（列）向量组线性无关
?A的n个特征值?i?0,i?1,2,?,n
?A可写成若干个初等矩阵的乘积 ?r(AB)?r(B) ?ATA是正定矩阵
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?A是Rn中某两组基之间的过渡矩阵
3.
A为n阶不可逆矩阵
A?0 ?AX?0有非零解 ?r(A)?n ?0是A的特征值 ?A??A
4.若A为n阶矩阵，?i(i?1,2?n)为A的n个特征值，则A???i
i?1n5.若A~B，则A?B
行列式的基本计算方法：
1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题:
一. 数字行列式的计算. 1. 利用行列式的定义. 2. 利用行列式的基本性质.
3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二. 行列式的代数余子式的相关计算. 三.
A?B类型成抽象行列式的计算.
1.与向量成分块矩阵结合 2与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合.
四.范德蒙行列式与克莱姆法则
第二章 矩阵
一 内容概要 1 矩阵的概念
注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，
2矩阵的运算及其运算律 （1）矩阵的相等； （2）矩阵的线性运算：
A才有意义，但是A?A；此外当A是长方形矩阵时A没有意义。
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a)矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）； b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）
kA?k(aij)m?n??kaij?m?n；
c)一般地，若线性运算；
A1,A2,?,At是同型矩阵，则k1A1?k2A2???ktAt有意义，称为矩阵A1,A2,?,At的一个
3矩阵的转置
将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义：
AT或A?，称为矩阵A的转置。
Am?nBn?s??Cij?m?s
注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而
cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj??ai1ai2?b1j????b2j??ai4???
????b??nj?5 关于矩阵运算的运算律要注意的问题： 1）一般地致；例如
AB?BA其原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一
A??aij?3?2,B??bjt?2?3，则AB与BA都有意义，但其阶数不同；
c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。
例如
?11??11????A??,B??，则AB与BA都有意义，但是AB?BA ????11???1?1?2）矩阵的乘法不满足消去律， 即一般地若
AB?AC,A?0，推不出B?C，例如若AX?0,A?0,推不出X?0
T3）若
?AB??BTAT AB有意义，则3 几种特殊类型的矩阵
（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵； （5）对称矩阵：若
A??aij?n?n,aij?aji，即A?AT；
（6）反对称矩阵：若
A??aij?n?n,aij?-aji，即A?-AT；
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