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关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则
A?0;
(7)正交矩阵：若
A满足：AAT?ATA?E或AT?A?1，则称A是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：
??1????2???； TTAT?T?1AT??????n?1????n???（8）阶梯形矩阵
若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）； 关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；
（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；
（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。 4 分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。 矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致； 分块矩阵运算的原则：
（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；
（2）分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。 5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵； 用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。 （2）初等变换
初等行变换、初等列变换； （3）初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：
?12?2??12?2???r1?(?2)?r2??A??23?1???????0?13??B
?131??131?????
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?12?2??100??12?2???????则B?PA即B??0?13????210??23?1?
?13????1????001??131?对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。
?举例说明A??12?2??23?1??10?2???c?1?(??2)??c2????2?1?1???B ?131????111???B??10?2??2?1?1?????12?2??1?20??23?1????010??
??111????131????001??(4)矩阵A与B等价
如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：
B?PtPt?1?P1AQ1Q2?Qs,其中Pi,Qj是初等矩阵
每一个矩阵A都与矩阵??E0?r??00??等价，其中r是矩阵A的秩，即存在 ?初等矩阵P?Er0?i,Qj使得：PtPt?1?P1AQ1Q2?Qs????00?? ?6 关于n阶矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得 AB=E或BA=E 则称矩阵A是可逆的； ( 2 )n阶方阵A可逆的充要条件
1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义）； 2）用A的行列式
A来描述：A?0;
3）用矩阵的秩来描述：r(A)?n这里n是矩阵A的阶数； 4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关； 5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解； 6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0； （3）逆矩阵的性质
1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；
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2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且3）
?AB??1?B?1A?1;
?1?A??1?1?A,AT?1???1?(A?1)T,?kA??k?1A?1，A?1?A,An?1????A?;
?1?1n?A?1?A0?4）??0B?????0???（4）逆矩阵的求法
0??0?,??1??B??BA??0??1????A0???1B?1??0????1?0???BA?1?? 0??1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
初等变换求逆矩阵的方法：
?A|E??一系列初等行变换???????E|B?，则B?A?1
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件； （5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律； 2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A均有此伴随矩阵
A*
使得AA*?A*A?AE
当
A?0时，A?1?A*的秩为：
1*A,当A?0时：AA*?A*A?0 A对于一般地方阵A，其伴随矩阵
?n若r(A)?n?r(A*)??1若r(A)?n?1
?0若r(A)?n?2?当
A?0时，A*?An?1,当A?0时A*?0。
（6）关于矩阵的秩
1）矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式Dr，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，Dr称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。
2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实行初等变换其秩不变
A?一系列初等变换?B，则r(A)?r(B)
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3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是
A?一系列初等变换?????T（T是阶梯型矩阵），则r（A）?r(T)?T的非0行的行数
4）有关矩阵秩的重要结论
r?A??rAT?rAAT（若A是实矩阵）????若A?0，则1?r(A)?min?m,n?
r(A?B)?r(A)?r(B),r?AB??min?r(A),r(B)?,max?r(A),r(B)??r?A|B??r(A)?r(B)
若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则
r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)
?A0??0??r??r(A)?r(B),r?0B??B???若A为m?n矩阵，B为n?s矩阵，且AB=0，则：
A???r(A)?r(B) ?0?r(A)?r(B)?n
此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。
二 常见题型
题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查 在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用题型二： 矩阵可逆的计算与证明
（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚； （2）如果给定了抽象的条件，要求
AA?1?A?1A?E来进行。
A?1，此时注意将条件转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的A?1。
在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。 题型三： 关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四： 有关初等矩阵及其初等变换的问题 题型五： 解矩阵方程
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将所给的条件转化为矩阵方程：对于矩阵方程或者先求出
AX?B或XA?B或AXC?B这里的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。
?A|B??初等行变换AX?B，其一般的解法为：?????E|D?，则这里的矩阵D?A?1B；
A?1，再计算A?1B。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。 题型六： 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。 3 注意矩阵秩的有关不等式。 题型七： 求一个方阵的高次幂 当A是一个方阵的时候，
Ak才有意义，否则没有意义。
第三章 n维向量空间
§3.1 n维向量的定义
1. 定义
定义：n个数a1,a2,?,an构成的有序数组, 记作? 称为n维行向量．
?(a1,a2,?,an),
ai–– 称为向量?的第i个分量
ai?R–– 称?为实向量（下面主要讨论实向量） ai?C–– 称?为复向量
?(0,0,?,0)
零向量：?负向量：(??)?(?a1,?a2,?,?an)
?a1??a????2???????an?, 列向量：n个数a1,a2,?,an构成的有序数组, 记作
或者??(a1,a2,?,an)T, 称为n维列向量．
??a1??0???a??0?(??)??2????????????????a?n? ?0? 负向量：零向量：
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
§3.2 n维向量的线性运算 1．定义
线性运算：??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn)
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