2011年普通高等等学校招生全国统一模拟考试(湖南卷)
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 若log2a＜0，()＞1，则 (D)
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 2．对于非0向时a,b,“a//b”的确良 （A） A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．将函数y=sinx的图象向左平移?(0 ??＜2?)的单位后，得到函数y=sin(x?象，则?等于 （D） A．
12b?6)的图
?5?7?11? B． C. D.
6666x(x?0) 的图像分别对应曲线C1和C2 , 则 4．如图1，当参数???2时，连续函数y?1??x[ B]
A 0??1?? B 0????1 C
5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?1??2?0 D ?2??1?0
[ C]
A 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式组??x?2y?022，所确定的平面区域，则圆 x?y?4在区域D内
?x?3y?0的弧长为 [ B] A
??3?3? B C D
42427．正方体ABCD—A1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（C） 1B1C1DA．2 B．3 C. 4 D. 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8.设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 fk(x)???1?f(x),f(x)?K
?K,f(x)?Kw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 取函数f(x)=2?x?e。若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则A．K的最大值为2 B. K的最小值为2
C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
10．在(1?x)3?(1?x)2?(1?3x)的展开式中，x的系数为___7__(用数字作答) 11、若x∈(0,
??)则2tanx+tan(-x)的最小值为22.22 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
o12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 则双曲线C的离心率为，
6 213、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
1，则总体中的个数数位 50 。 28w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3
15、将正⊿ABC分割成n（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=
2101，…，f(n)= (n+1)(n+2) 36
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）
????????????????2在?ABC，已知2AB?AC?3AB?AC?3BC，求角A，B，C的大小。
解：设BC?a,AC?b,AB?c
????????????????3由2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以cosA?
2又A?(0,?),因此A??6w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
????????3222由3AB?AC?3BC得bc?3a，于是sinC?sinB?3sinA?
4所以sinC?sin(1335?3，sinC?(cosC?，因此 sinC)??C)?22464?2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?0
3?5???4?由A=知0?C?，所以?，2C??，从而
63336???2?2C??0,或2C???,，既C?,或C?,故
3363?2????2?A?,B?,C?,或A?,B?,C?。
63666317.（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.任选一个项目参与建设。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 111、、，现在3名工人独立地从中236
（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）记?为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求? 的
分布列及数学期望。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互独立，
1A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（A1）=，P（B1）=，P
31（C1）=
6（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6?1111??= 2366(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为?，由己已知，?-B（3，且?=3?。
1），31， 2722213() ()= P（?=1）=P（?=2）= C33392411()()2= P（?=2）=P（?=1）=C33392380P（?=3）=P（?=0）= C3 ()=
3271()=所以P（?=0）=P（?=3）=C3313w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故?的分布是
? P 0 1 2 3 12 2791248?的数学期望E?=0?+1?+2?+3?=2
2799274 98 27解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件D1， i=1,2,3 ，由此已知，D1·D，D1相互独立，且 P（D1）-（A1，C1）= P（A1）+P（C1）=所以?--B(3,),既P(??K)?C3()()
112+= 2633?K23K23K13，k?0,1,2,3.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故?的分布列是
? p 18.（本小题满分12分）
0 1 2 3 1 272 94 98 27如图4，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?2AA
DE?AE。 D是A1B1的中点，点E在AC11上，且
（I） （II）
证明平面ADE?平面ACC1A1
求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解 （I） 如图所示，由正三棱柱ABC?A1B1C1的性质知AA1?平面A1B1C1 又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.
而DE?AE。AA1?AE=A 所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。
（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B?C1D， A1B?DF又C1D?DF=D，所以A1B?平面C1DF， 而AB∥A1B，所以
AB?平面C1DF，又AB?平面ABC，故
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