平面AB C1?平面C1DF。
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH?平面AB C1。连接AH，则?HAD是AD和平面ABC1所成的角。
由已知AB=2A A1，不妨设A A1=2，则AB=2，DF=2，D C1=3， C1F=5，AD=
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
AA1?AD2=3，DH=DH10=。 AD52DF·DC1302?3=—，
5C1F5所以 sin?HAD=
即直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为
10。 5
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)， B（3，0，0）， C1（0，1，2）， D（
13，-，2）。
22
易知AB=(3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有
13，-，2）
22w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?AB?3x?y?0,??n·??? ?AC1?2y?2z?0,??n·?解得x=-
3y， z=-2y， 3故可取n=(1，-3，6)。 所以，cos(n·AD)=n·ADn·AD=
2310?3=
10。 5由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为19.（本小题满分13分）
10。 5某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。
（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 解 （Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m，即n=m?1 xmm所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(-1)+(2?x)x
xx256x?mx?2m?256. ?x （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f'(x)??32256mx213m32?mx?2(x2?512). 22x 令f'(x)?0，得x?512，所以x=64
当0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当64?x?640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n?故需新建9个桥墩才能使y最小。 20（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 22 解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则d?4(x?3)?y?3︳x-2︳ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m m640?1??1?9. x64 由题设 当x>2时，由①得(x?3)?y?6?221x, 2x2y2??1. 化简得 362722当x?2时 由①得(3?x)?y?3?x, 化简得y2?12x x2y2??1在直线x=2的右侧故点P的轨迹C是椭圆C1:3627部分与抛物线C2:y2?12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1 （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与C1，C2的交点都是A（2，26）， B（2，?26），直线AF，BF的斜率分别为kAF=?26，kBF=26. 当点P在C1上时，由②知 PF?6?1x. ④ 2w.w.w.k.s.5.u.o.m 当点P在C2上时，由③知 PF?3?x ⑤ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y?k(x?3) （i）当k≤kAF，或k≥kBF，即k≤-2 （x2，y2）都在C 1上，此时由④知 ，N6时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1） 11x1 ∣NF∣= 6 - x2 22111从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - x1）+ （6 - x2）=12 - ( x1+x2) 222∣MF∣= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?y?k(x?3)?由?x2y2 得(3?4k2)x2?24k2x?36k2?108?0 则x1，y1是这个方程的两根，所 ?1???3627124k212k2以x1+x2=*∣MN∣=12 - （x1+x2）=12 - 2223?4k3?4k因为当k?26,或k?26时,k2?24, 12k212100?1?2?. MN?12?13?4k211?42kw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当且仅当k??26时，等号成立。 （2）当kA,26?k?26E?k?kAN?时，直线L与轨迹C的两个交点M(x1,y1),N(x2,y2) 分别在C1,C2上，不妨设点M在C1上，点C2上，则④⑤知，MF?6? 设直线AF与椭圆C1的另一交点为E(x0,y0),则x0?x1,x2?2. MF?6?1x1,NF?3?x2 211x1?6?x0?EF,NF?3?x2?3?2?AF 22 所以MN?MF?NF?EF?AF?AE。而点A，E都在C1上，且 kAE??26有（,1）知AE?100100,所以MN?1111w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直线?的斜率不存在，则x1=x2=3，此时 1100MN?12?(x1?x2)?9? 211100综上所述，线段MN长度的最大值为 1121.（本小题满分13分） 对于数列?un?若存在常数M＞0,对任意的n?N?，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m un?1?un?un?un?1?...?u2?u1?M则称数列?un ?为B-数列 （1） 首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （2） 设Sn是数列?xn?的前n项和，给出下列两组论断； A组：①数列?xn?是B-数列 ②数列?xn?不是B-数列 B组：③数列?Sn?是B-数列 ④数列?Sn?不是B-数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （3） 若数列?an?,?bn?都是B?数列，证明：数列?anbn?也是B?数列。 解（1）设满足题设的等比数列为?an?,则an?qn?1，于是 an?an?1?qn?1?qn?2?qn?2q?1,n?2 2n?1因此｜an?1- an｜+｜an-an?1｜+?+｜a2-a1｜=q?1(1?q?q?...?q因为q?1,所以1?q?q?...?q2n?1). 1?q1??,即1?q1?qnw.w.w.k.s.5.u.c.o.m an?1?an?an?an1?...?a2?a1?q?11?q 故首项为1，公比为q(q?1)的等比数列是B-数列。 （2）命题1：若数列?xn?是B-数列，则数列?Sn?是B-数列 次命题为假命题。 事实上，设xn?1,n?N?，易知数列?xn?是B-数列，但Sn?n Sn?1?Sn?Sn?Sn?1?...?S2?S1?n 由n的任意性知，数列?Sn?是B-数列此命题为。 命题2：若数列?Sn?是B-数列，则数列?xn?是B-数列 此命题为真命题 事实上，因为数列?Sn?是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?1,有 Sn?1?Sn?Sn?Sn?1?...?S2?S1?Mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即xn?1?xn?...?x2?M。于是 xn?1?xn?xn?xn?1?...?x2?x1 ?xn?1?2xn?2xn?1?...?2x2?2x1?2M?x1 所以数列?xn?是B-数列。 （III）若数列?an? {bn}是B?数列，则存在正数M1.M2，对任意的n?N?,有 an?1?an?an?an?1?....?a2?a?1M 1bn?1?bn?bn?an?1?....?b2?b1?M2 注意到an?an?an?1?an?1?an?2?...?a2?a1?a1 ?an?an?1?an?1?an?2?...?a?2a?1a?1M?a1 同理：bn?M2?b1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1 记K2?M2?b2，则有K2?M2?b2 an?1bn?1?anbn?an?1bn?1?anbn?1?anbn?1?anbn ?bn?1an?1?an?anbn?1?bn?K1an?1?an?k1bn?1?bn 因此 K1(bn?1?bn?b?n?n1b?......?a21a?)2k?M1 1kM2 +K1(bn?1?bn?bn?bn?1?......a2?a1)?k2M1?k1M2 故数列anbn是B?数列 ??w.w.w.k.s.5.u.c.o.m