（2）某人射击一次命中的环数；
（3）从集合 ??= ??,??,??,?? 中任取两个元素构成的 ?? 的子集．
89. 已知集合 ??= ??∈?? ??2?3??+??=0 ，??= ??∈?? ??+1 ??2+3???4 =0 ．
（1）若 ??=4，存在集合 ?? 使得 ????????，求这样的集合 ??；
（2）集合 ?? 能否成为集合 ?? 的一个子集?若能，求 ?? 的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 90. 已知集合 ??= ?? ??2?3??+??=0 ,??= ?? ??+1 ??2+3???4 =0 ．
（1）若 ??=4，能否存在集合 ?? 使得 ???????? ?若存在，求出所有符合题意的集合 ??；若不
存在，说明理由；
（2）?? 能否成为 ?? 的一个子集?若能，求出 ?? 的值或取值范围；若不能，请说明理由．
1???2291. 设集合 ??= ?? 32≤2≤4 ，??= ?? ???3????+2??????1<0 ．
（1）当 ??∈?? 时，求 ?? 的非空真子集的个数； （2）若 ??=?，求 ?? 的取值范围；
（3）若 ?????，求 ?? 的取值范围．
1
92. 设集合 ??= ?? 32≤2???≤4 ，??= ?? ??2?3????+2??2????1<0 ．
（1）当 ??∈?? 时，求 ?? 的非空真子集的个数． （2）若 ??=?，求 ?? 的取值范围．
（3）若 ?????，求 ?? 的取值范围．
93. 已知集合 ??= ??2,??+1,?3 ，??= ???3,2???1,??2+1 ，??∩??= ?3 ．
（1）求实数 ?? 的值
（2）求满足 ??∩????????∪?? 的集合 ?? 的个数．
94. 集合 ??= ?? ?2≤??≤5 ，??= ?? ??+1≤??≤2???1 ．
（1）若 ?????，求实数 ?? 的取值范围； （2）当 ??∈?? 时，求 ?? 的非空真子集个数；
（3）当 ??∈?? 时，不存在元素 ?? 使 ??∈?? 与 ??∈?? 同时成立，求实数 ?? 的取值范围．
95. 设集合 ??= 1,2,3?,?? , ??∈???,??≥2 ，??，?? 是 ?? 的两个非空子集，且满足集合 ?? 中的最大数
小于集合 ?? 中的最小数，记满足条件的集合对 ??,?? 的个数为 ????． （1）求 ??2,??3 的值
（2）求 ???? 的表达式
96. 已知 ??，??，?? 均为实数，二次函数 ?? ?? =????2+????+??，集合 ??= ?? ?? ?? =????+?? ，
??= ?? ?? ?? =????+?? ，??= ?? ?? ?? =????+??
（1）若 ??∩??≠?，求证：??=??；
（2）当 ??=1 时，若集合 ??=??∪??∪?? 中恰有 3 个元素，求 2??+?? 的最小值．
97. 设 ?? 是集合 ??= 1,2,3,???,?? 的一个 ?? 元子集（即由 ?? 个元素组成的集合），且 ?? 的任何两个子
集的元素之和不相等；而对于集合 ?? 的包含集合 ?? 的任意 ??+1 元子集 ??，则存在 ?? 的两个子集，使这两个子集的元素之和相等． （1）当 ??=6 时，试写出一个三元子集 ??．
（2）当 ??=16 时，求证：??≤5，并求集合 ?? 的元素之和 ?? 的最大值．
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98. 已知集合 ??= ??1,??2,??3,?,???? ，其中 ??1∈??，1≤??≤??，??>2．?? ?? 表示和 ????+
???? 1≤??
（1）设集合 ??= 2,4,6,8 ，??= 2,4,8,16 ，分别求 ?? ?? 和 ?? ?? ； （2）若集合 ??= 2,4,8,?,2?? ，求证：?? ?? =
?? ???1 2
；
（3）?? ?? 是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由?
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答案
第一部分 1. D 2. C 6. C 8. B
【解析】集合 ??∈?? ?1≤??≤1 = ?1,0,1 ，所以子集的个数是 23=8． 3. C 7. C 9. B
4. D
5. C
【解析】因为集合 ??= ??∈?? 0
【解析】含 ?? 个元素的集合的子集的个数为 2??，真子集的个数为 2???1． 10. C
【解析】提示：?? 的个数和 1 的子集个数相同． 11. C 【解析】集合 ?? 含有 4 个元素， 所以集合 ?? 共有 24 个子集，
去掉空集和它本身，则集合 ?? 的非空真子集的个数为 24?2=14．
12. B 【解析】通解 因为 ??=??+??，??,??∈??，??≠??，所以 ??= 5,6,7 ，故 ?? 的非空子集有 5 ， 6 ， 7 ， 5,6 ， 5,7 ， 6,7 ， 5,6,7 ，共 7 个．
优解 因为 ??=??+??，??,??∈??，??≠??，所以 ??= 5,6,7 ，根据公式可得集合 ?? 的非空子集的个数是 23?1=7．
13. D 14. B 【解析】由题意得 ??= 3,4 ，所以集合 ?? 有 4 个子集． 15. C
16. B 【解析】??=??∩??= 1,3 ，故 ?? 的子集共有 4 个． 17. C 【解析】因为 ??= ??∈?? ?1
【解析】??= 1,2 ，??∪??= 1,2,3 ，则集合 ?? 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合 ??= 1,2 的子集个数问题，所以满足题目条件的集合 ?? 共有 22=4 个．
21. B 【解析】??= ?1,0,1,2 ，??= 1,2,5 ，子集个数为 23=8 个． 22. B 23. B 【解析】因为集合 ??= 1,2 ， 所以 ?? 的真子集的个数为：22?1=3． 24. B 25. C
26. C 【解析】集合 ?? 中有三个元素 0,1,2，则其真子集的个数为 23?1=7．
27. C 【解析】??= ?? ?1
所以集合 ?? 的真子集为 23?1=7．
29. B 【解析】集合 ?? 的所有子集共有 26=64 个，其中不含 4，5，6，7 的子集有 23=8 个，所以集合 ?? 共有 56 个． 30. A
31. D 【解析】因为 ??×??= 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 ，所以其子集有 26=64 个． 32. D【解析】集合 ?? 有且仅有两个子集，说明 ?? 中只有一个元素，当 ??=0 时，成立；当 ??≠0 时，由 ??=0，得 ??=±1．
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33. C 34. D 【解析】因为当 ??∈?? 时，若有 ???1???，且 ??+1???，则称 ?? 为 ?? 的一个“孤立元素”，所以单元素集合都含“孤立元素”．?? 中无“孤立元素”的 2 个元素的子集为 0,1 ， 1,2 ， 2,3 ， 3,4 ， 4,5 ，共 5 个，?? 中无“孤立元素”的 3 个元素的子集 0,1,2 ， 1,2,3 ， 2,3,4 ， 3,4,5 ，共 4 个，?? 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集为 0,1,2,3 ， 0,1,3,4 ， 0,1,4,5 ， 1,2,3,4 ， 1,2,4,5 ， 2,3,4,5 ，共 6 个，?? 中无“孤立元素”的 5 个元素的子集为 0,1,2,3,4 ， 1,2,3,4,5 ， 0,1,2,4,5 ， 0,1,3,4,5 ，共 4 个，?? 中无“孤立元素”的 6 个元素的子集为 0,1,2,3,4,5 ，共 1 个，故 ?? 中无“孤立元素”的非空子集有 20 个． 35. B
【解析】∵ 集合 ??= 1,2,3,4,5,6 ，?????，∴7,8???，又 ??= 4,5,6,7,8 ，且 ??∩??≠?，∴4,5,6 中至少有一个元素在 ?? 中，1,2,3 可以在 ?? 中，也可以不在 ?? 中，∴ 满足条件的集合 ?? 的个数为 23× 23?1 =56． 36. B 【解析】由 个．
37. B 【解析】方法一：因为 ??= 1,2,3,4,5,6 ，??= 4,5,6,7,8 ，而 ????? 且 ??∩??≠?，所以 ?? 中包含 4，5，6 中至少一个元素．按 ?? 中所含 4，5，6 中元素个数分类：
（1）当 ?? 中只含 4，5，6 中的一个元素时，有 3 种，而 1，2，3 可构成集合 23 个，故满足题意的 ?? 有 3×23=3×8=24（个）．
（2）当 ?? 中含有 4，5，6 中的两个元素时，有 3 种，故满足题意的 ?? 有 3×23=3×8=24（个）． （3）当 ?? 中含有 4，5，6 三个元素时，满足题意的 ?? 共有 23=8（个）． 故集合 ?? 的可能个数为 24+24+8=56．
方法二：由 ????? 知 ?? 是 ?? 的子集，又因为 ??= 1,2,3,4,5,6 ，所以满足条件 ????? 的 ?? 共有 26=64（种）可能．又因为 ??∩??≠?，??= 4,5,6,7,8 ，所以 ?? 中必含 4，5，6 中至少一个元素，而在满足 ????? 的所有子集 ?? 中，不含 4，5，6 的子集共有 23=8（个），所以满足题意的集合 ?? 的可能个数为 64?8=56．
38. C 39. C 【解析】由 ????? 且 ????? 可知，??? 4,5,6 ． 又 4,5,6 的子集有 23=8 个；故集合 ?? 的个数为 8． 40. A
【解析】当 ????? 时，满足条件的 ?? 的个数为 28=256 个，当 ????? 时，满足条件的 ?? 的个数为 27=128 个，当 ??∪?? ??? 时，满足条件的 ?? 的个数为 25=32 个， 故满足条件的集合 ?? 的个数是 210?28?27+25=672 种． 第二部分 41. 32 42. 7 43. 4
【解析】由已知，得 ??={?2,2} ，所以集合 ?? 的子集有 4 个． 44. 16 45. 4 46. 7
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i?1i+1
=
i?1 1?i
2
=i，得 ??= i,?1,?i,1 ，所以 ?? 的非空子集的个数为 24?1=15
【解析】因为 ?1
真子集有 ?， 1 ， 2 ， 0 ， 0,1 ， 0,2 ， 1,2 ，共 7 个． 47. 8
【解析】集合 ?1,0,1 共有 23=8 个子集． 48. 4 49. 7 50. 8 51. 16 52. 8
【解析】提示：因为 ??∪??=??，所以 ?????． 53. 1,5 ，8 54. 4
【解析】因为 ??= 1,2,3,4,5 ，??= 2,4,5 ， 所以 ?????= ?? ??∈??且????? = 1,3 ， 所以 ????? 的子集为 ?， 1 ， 3 ， 1,3 ，共 4 个． 55. 3
56. 7；，?， ?? ， ?? ， ?? ， ??,?? ， ??,?? ， ??,?? 57. 15 58. 8，6
59. ×，×，√，√，×，× 60. 4
【解析】画出椭圆
??24
+
??216
=1 和指数函数 ??=3?? 的图象，可知其有两个不同交点，记为 ??1，??2，则
??∩?? 的子集应为 ?， ??1 ， ??2 ， ??1,??2 共四个． 61. 8
【解析】在每个集合中必须包含 ??，??，因此只需求出 ??,??,?? 的子集个数即可． 62. 7
【解析】由题知 ??= 0,1,3 ，它的真子集有 23?1=7（个）． 63. 32 64. 7 65. 8
【解析】由题意可知 ?? 为 ?? 的子集，因为 ?? 中有三个元素，所以集合 ?? 的个数为 23=8． 66. 2 67. 4
【解析】因为 ??= 0,2,3 ，??= ?? ??=????,??,??∈??且??≠?? ，所以 ??= 0,6 , 所以 ?? 的子集共有 22=4 个． 68. 4 69. 81
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