排队论例题
1、某重要设施是由三道防线组成的防空系统。第一道防线上配备两座武器；第二道防线上配备三座武器；第三道防线上配备一座武器。所有的武器类型一样。武器对来犯敌人的射击时间服从μ=1（架/分钟）的指数分布，敌机来犯服从λ=2（架/分钟）的泊松流。试估计该防空系统的有效率。
解： 武器联合发挥作用
该防空系统有效率 = 1- (三道防线后的损失率) 三道防线均可看成M/M/1/1系统
第一道防线：λ=2架/分钟, μ=2架/分钟（两座武器）
ρ=λ/μ=1
P1??P0?P0,P0?第二道防线 :
11,P1?,P(A1)??1损??P1?1. 22?11???1损?1.??3(三座武器)???,P1??P0?P0,?33311P0?,P1?,P(A2)??2损??P1?.444第三道防线:
1?11???2损?.??1,???,P1??P0?P0,P0?P1?1,4?44411?P0?,P1?,P(A3)??3损??P1??0.05.5520?3损0.05总损失率???0.025,?2该防空系统的有效率?1-总损失率?0.975
2、某汽车加油站只有一个加油灌，汽车到达为泊松流，加油时间服从指数分布。平均到达率和平均服务率分别为λ和μ。已知汽车排队等待（不含服务时间）1小时的损失费为C元，加油站空闲1小时损失费为2C元。试求使总的损失费（包括顾客排队等待的损失费和服务机构空闲时的损失费）最小的最优服务强度ρ（ρ=λ/μ）。
解：该排队系统为M/M/1系统
???? ?? Wq=
?（???）1???P0 = 1-?=（空闲概率） 每小时空闲时间为1×P0= P0
??2?2总损失费为： y?2Cp0?Cwq?2C(1??)?C
1??2?(1??)??22???2??2C?C 对 ? 求导 y???2C?C22(1??)(1??)∴??2?2 又∵?＜1 ∴??2?2
(2?2?)(1??2)?2(1??)(2???2)由于2阶导数 y????0 4(1??)∴在??2?2时为0＜?＜1上取最小值
3. 某航空公司售票出开展电话订票业务。据统计分析，电话到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时20个，平均每个业务员每小时可以处理10个电话订票业务。请问该公司应该安装多少电话，才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪.
解：该排队系统为M/M/S/S系统。 λ λ λ 0 1 μ k?2 2μ ?13 3μ λ=20个/h ,μ=10个/h . δ=λ/μ=2
?s?P0=???k?0k！?? Pn=δ P0 (n=0,1,2,…,s)
n!Sn因电话占线而损失的概率为电话服务台全被占用的概率。Ps=δ P0
n!当s=1时，P0=
?1?2??1= ， P1=?=>10﹪
2??113211323?2当s=2时，P0=?1?2????2！??2112=， P2=2?=>10﹪ 52！552?当s=3时，P0=?1?2?2?2???2！3！??233??1334= P3=2?=>10﹪ 193！19193?222当s=4时，P0=?1?2??????2！3！4！??
4??1112? P4=2?? < 10﹪ 74！7214所以公司应安装4台电话才能使因电话占线而损失的概率小于10﹪。