内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
π
1.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对
12称轴为( ) A.x＝C.x＝
kπkπ
πkππ－(k∈Z) B.x＝＋(k∈Z) 2626πkππ－(k∈Z) D.x＝＋(k∈Z) 212212
π
解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝
12π?ππkππ?2sin?2x＋?，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B. 6?6226?答案 B
π
2.(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在
2
?π?区间?－，π?上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) ?2?
πA.ω＝2，φ＝ 31πC.ω＝，φ＝ 23
2π
B.ω＝2，φ＝－
312πD.ω＝，φ＝－ 23
2ππ?π?π???π?解析 由图可知，T＝2?－?－??＝π，所以ω＝＝2，又sin?2×－φ?＝0，所以6T3???6?3??πππ
－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故 选A.
323答案 A
3.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f(x)＝3sin x－cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( ) π
A. 6πC. 2
B.D.
π 32π 3
- 1 -
π??π??解析 依题意得f(x)＝2sin?x－?，因为函数f(x－a)＝2sin?x－a－?的图象关于y轴对
6?6???π?πππ?称，所以sin?－a－?＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，因此正数a6?623?π
的最小值是，选B.
3答案 B
π
4.(2016·台州模拟)函数f(x)＝3sinx－log1x的零点的个数是( )
2
2A.2
B.3
C.4
D.5
π2π1
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由log1x＝3，可得x＝.由log1x＝－3，可得x2π8
222π
＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝log1x的图象(如图所示)，易知
2
2有5个交点，故函数f(x)有5个零点.
答案 D
5.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( ) 2π
A.向右平移个单位得到的
3π
B.向右平移个单位得到的
37π
C.向右平移个单位得到的
12π
D.向右平移个单位得到的
6
解析 由函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，可得g(x)的图象位于y轴右侧的第一17πππ7π
个最高点的横坐标为m，则有－m＝－，解得m＝，故把函数f(x)＝sin 2x的图
2448127πππ
象向右平移－＝个单位，即可得到函数g(x)的图象，故选B.
1243答案 B
- 2 -
二、填空题
6.(2017·金华调研)如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有ω＝________，A＝________.
2π2π
解析 由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转 rad，所以ω＝；又水轮上的最高1515点距离水面r＋2＝5(米)，所以y的最大值A＋2＝5，A＝3. 答案
2π
3 15
ππ??7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，－≤φ≤?的图象上的两个相邻的最高点和最22??1??低点的距离为22，且过点?2，－?，则函数f(x)的解析式为________.
2??解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得2ππ
4，故ω＝＝，
T2即f(x)＝sin?
?T?＋（1＋1）2＝22，解得T＝
?2???
2
?πx＋φ?.又函数图象过点?2，－1?，
??2??2???
1?π?故f(2)＝sin?×2＋φ?＝－sin φ＝－，
2?2?ππ
又－≤φ≤，
22
π?πxπ?解得φ＝，故f(x)＝sin?＋?.
6?6?2答案 f(x)＝sin?
?πx＋π?
?6??2
π???π??π??ππ?8.已知f(x)＝sin?ωx＋? (ω>0)，f??＝f??，且f(x)在区间?，?上有最小值，无3???6??3??63?最大值，则ω＝___________.
ππ＋
63π
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
24
- 3 -
π?ππ3π?π
∴sin?·ω＋?＝－1，∴ω＋＝2kπ＋ (k∈Z).
3?432?4
14πππ?ππ?∴ω＝8k＋ (k∈Z)，因为f(x)在区间?，?上有最小值，无最大值，所以－≤，334ω?63?即ω≤12，令k＝0， 14
得ω＝.
3答案
14 3
三、解答题
π??9.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos?ωx＋?，其中x∈R，ω＞0. 6??
?π?(1)当ω＝1时，求f??的值；
?3?
?π?(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在?0，?上取得最大值时x的值.
4??
ππ?π?解 (1)当ω＝1时，f??＝sin ＋cos 32?3?＝
33
＋0＝. 22
π??(2)f(x)＝sin ωx＋cos?ωx＋?
6??＝sin ωx＋
31
cos ωx－sin ωx 22
π?13?＝sin ωx＋cos ωx＝sin?ωx＋?.
3?22?∵
π?2π?＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin?2x＋?.
3?|ω|?
π?π5π??π?由x∈?0，?，得2x＋∈?，?，
4?6?3?3?πππ
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
3212
ππ?π?10.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)?ω＞0，－≤φ＜?的图象关于直线x＝对称，且22?3?图象上相邻最高点的距离为π.
?π?(1)求f??的值；
?4?
π
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区
12
- 4 -
间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2π
T＝2.
πππππ对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，又f(x)的图象关于直线x＝332所以k＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f(x)＝3sin??π?2x－6???，
则f??ππ3?4???＝3sin???2×ππ4－6???＝3sin 3＝2. (2)将f(x)的图象向右平移π
12
个单位后，得到
f??x－π?
12
???
的图象，
所以g(x)＝f??π?x－12???＝3sin???π?12?π???2?x－?－6??
＝3sin??π?
2x－3???. 当2kπ＋ππ32≤2x－3≤2kπ＋π
2
(k∈Z)，
即kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π
12(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为???kπ＋5π11π12，kπ＋12???
(k∈Z).
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin???2x＋π6???，则下列结论正确的是( A.f(x)的图象关于直线x＝π
3对称
B.f(x)的图象关于点?
?π?6，0???
对称
C.f(x)的最小正周期为π，且在???0，π12???
上为增函数
D.把f(x)的图象向右平移π
12个单位，得到一个偶函数的图象
解析 对于函数f(x)＝sin??π?
2x＋6??π?，当x＝3时，
22
)
- 5 -