变换；
提示：思路与上题相同。通过X1(z)和X2(z)找出序列x1(n)和x2(n)，直接求x1(n)和x2(n)的卷积，即是求X1(z)·X2(z)的逆z变换。注意序列x1(n)和x2(n)的n的取值范围。 n1=-1:1; n2=-2:1;
x1=[1,2,3]; x2=[2,4,3,5];
y=conv(x1,x2); n=n1(1)+n2(1):n1(3)+n2(4); stem(n,y);
2520151050-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52
3.离散时间线性时不变系统的时域实现：已知因果LSI系统的差分方程为：
y(n)?0.81y(n?2)?x(n)?x(n?2)，写出系统传递函数H(z)及其收敛域，编程实现以下内容：
① 系统冲激响应h(n)，并绘图； ② 系统的单位阶跃响应g(n)，并绘图； ③ 系统函数的幅频响应H(ejw)，并绘出幅频和相频特性。
提示：①冲激响应可用impz(b,a,n)函数，可查看Matlab Help了解它的相关用法。impz函数：数字滤波器的冲激响应，用来求系统的冲激响应h(n)。b是差分方程中输入的系数，a是差分方程中输出的系数。注意缺项的系数前要添加系数0。这个函数本身就有画图功能。如果n是一个整形变量，impz计算的是在这些整数点位置上的冲激响应，且从0开始。②单位阶跃响应可用stepz(b,a,n)函数，可查看Matlab Help了解它的相关用法。与impz用法相似。③幅频响应可用freqz（b,a,w），其中w=[0:1:500]*pi/500和freqz(b,a,n)分别求， 可查看Matlab Help了解它的相关用法。 ①：b=[1 0 -1]; a=[1 0 -0.81]; impz(b,a,100);
Impulse Response1.210.8 Amplitude0.60.40.20-0.20102030405060n (samples)708090
②：b=[1 0 -1]; a=[1 0 -0.81]; stepz(b,a,100);
Step Response10.90.80.7 Amplitude0.60.50.40.30.20.100102030405060n (samples)708090
③：a=[1,0,-0.81]; b=[1,0,-1]; freqz(b,a,50,'whole');
1Magnitude (dB)0-1-200.20.40.60.811.21.41.6Normalized Frequency (?? rad/sample)1.8240Phase (degrees)200-20-4000.20.40.60.811.21.41.6Normalized Frequency (?? rad/sample)1.82
a=[1,0,-0.81]; b=[1,0,-1]; freqz(b,a,[0:1:500]*pi/500);
100Magnitude (dB)0-100-200-30000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91100Phase (degrees)500-50-10000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (?? rad/sample)0.91
四．思考题
1. 画图语句后加grid，起什么作用？（10分）
2. 画图时，不加axis语句，为什么也可以画出图形？此时横纵轴坐标怎样？（10分） 3. freqz（b,a,w）中，w=[0:1:500]*pi/500，若改为：
freqz(b,a,n)，n=[0:1:50]，会出现什么情况？为什么？（10分） 4. 根据实验结果，写出系统函数的表达式H(z)，并写出收敛域。（10分） 5. 系统稳定性和因果性的判决条件？程序实现的主要思路？（10分）
实验四 离散时间傅立叶变换DFT（离散时间信号的频域分析）
五、 实验目的
4. 深刻理解有限长序列的离散傅立叶变换的概念、计算及意义； 5. 掌握从离散傅立叶级数到离散傅立叶变换的过程； 6. 掌握离散傅立叶变换的性质，熟悉信号的频域转换。 六、 实验原理
一个信号的时域转换可以通过傅立叶变换（DFT）来完成。有限长序列的DFT是其Z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅立叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。为了更好地理解DFT的概念，我们先了解周期序列及其离散傅立叶级数
（DFS）表示。 七、 实验内容
1. 若x(n)?cos(n?)是一个N=12的有限长序列，利用MATLAB计算它的DFT并画出图形。
6提示：在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，对信号的要求是：在时域和频域都应该是离散的，且都应是有限长的，只有DFS（离散周期序列的傅立叶级数）在时域和频域都是离散的。所以，DFT实际上来是自于DFS的，只不过仅在时域、频域各取一个周期而已。本题要求自己编写一个dft(xn,N)函数，其中xn代表序列，N代表有限长序列的点数。dft(xn,N)函数的算法采用序列求DFT变换的基本公式，即： 2?nkX(k)?x(n)exp(?jnk)?x(n)WN，其中，k?0,1,?,N?1。由于X(k)为复数，所以画Nn?0n?0?N?1?N?1图时，应画X(k)的幅度特性abs()和相位特性angle()。 clc
N=12; n=0:N-1; k=0:N-1;
x=cos(n*pi/6); w=exp(-j*2*pi/N);
A=n'*k; X=x*w.^A; X1=abs(X); X2=angle(X); subplot(121);stem(n,X1);grid on; subplot(122);stem(n,X2);grid on;
74321403-12-2-3-46510051015051015
nx(n)?(0.9),0?n?20 2. 对于实序列
① 分解成偶部xe(n)和奇部xo(n)；
② 验证实序列的性质：DFT[xe(n)]?Re[X(k)] DFT[xo(n)]?jIm[X(k)] 提示：任意一个实序列都可以表示成偶对称序列与奇对称序列之和，即：x(n)?xe(n)?xo(n)。令xe(n)?[x(n)?x((N?n))N]，，这xo(n)?[x(n)?x((N?n))N]样分别求DFT[xe(n)]和DFT[xo(n)]，再求DFT[x(n)]，将得到的X(k)取其Re[X(k)]和jIm[X(k)]，与上述结果相比较，验证实序列的上述性质。本题要求自己编写一个circevod(x)函数，它的功能是将一个实序列分解成xe(n)与xo(n)之和，并求出xe(n)与xo(n)。其中需要有判断语句，判断这个序列是否是实序列；x((N?n))N的求法可参考mod(-n,N)函数。 1212clear all;
n=0:19; N=length(n); m=mod(-n,N)+1;
x1=0.9.^n; x2=x1(m); xe=1/2*(x1+x2); xo=1/2*(x1-x2); subplot(321);stem(n,xe);title('x1(n)的偶部'); subplot(322);stem(n,xo);title('x1(n)的奇部'); Xe=dft(xe,N); Xo=dft(xo,N);
X=dft(x1,N); ReX=real(X); ImX=imag(X); subplot(323);stem(n,Xe);title('xe(n)的DFT'); subplot(324);stem(n,ReX);title('X的实部'); subplot(325);stem(n,imag(Xo));title('xo的DFT'); subplot(326);stem(n,ImX);title('X的虚部');
x1(n)的偶部10.50105050-50.50-0.5105050-5x1(n)的奇部0510xe(n)的DFT15200510X的实部15200510xo的DFT15200510X的虚部15200510152005101520
离散傅里叶变换的应用