数学建模
个单位的土地量、灌溉用水量和劳动时间，总收益会分别增加100元、100元和0元．
（3）最优解不变条件下目标函数系数的变化范围分别为[250,400]、[0,200]和[250,400]，即当每亩玉米的收益在[250,400]，每亩小麦的收益在[0,200]，每亩高粱的收益在[250,400]变化时，不需要改变生产计划．
（4）土地、灌溉用水和劳动时间这三种资源影子价格有意义条件下约束右端的限制范围分别为[333.3333,666.6667]、[937.5,1275]和[208.3333,??]，要保证前面给定的影子价格有意义，土地量、灌溉用水量和劳动时间只能在上述范围内取值．
根据上述报告可以回答前面的三个问题：问题（1）应该做此项投资，若投资每周最多1275购买亩-尺的灌溉用水；问题（2）可以购买土地，购买1亩土地的费用最多是100元；问题（3）每亩高粱的获利为300元时，仍小于其变化上限400元，所以不需要改变生产计划．
B6 练习
B6.1 课堂练习
1. 利用Lingo软件求解线性规划
max z?6x1?3x2?2x3s.. 4tx1?3x2?2x3?86 2x1?6x2?5x3?22 1.5x1?2x2?1.5x3?18 x2?3 xi?0,i?1,2,32. 利用Lingo软件求解整数规划
max z?40x1?90x2
s.. 9tx1?7x2?56 7x1?20x2?70 x1,x2??Z?,0?
3．利用Lingo软件求解非线性规划
max z?x1?x2?x3?x4s.t. xi?400 1.1x1?x2?440 1.21x1?1.1x2?x3?484 1.331x1?1.21x2?1.1x3?x4?532.4 xi?0,i?1,2,3,44．利用Lingo软件求解二次规划
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数学建模
2min f?2x12?3x1x2?3x2?3x1?x2s.t. x1?2x2?32x1?x2??3 x1?3x2?3 x1?2,x2?05. 写出下面线性规划问题的Lingo模型的集段和数据段.
max z?6x1?x2?2x3s.. 3tx1?2x2?x3?48 x1?2x2?5x3?20 2x1?x2?3x3?8 xi?0,i?1,2,36．写出下面Lingo模型的集段和数据段.
model:
min=-5*x1-2*x2; 2*x1+x2+x3=8; x1+x4=3; end
7．附图2.6为含有九个节点的有向赋权图，试写出其最短路径问题的Lingo模型的集
段和数据段.
v33v23532v6331v14v52.522v94v4v7v8
附图2.6 有向赋权图
8. 在Lingo模型中定义两个基本集，分别含有5个和6个成员，然后以这两个集作为父集，分别生成一个稠密集和稀疏集(利用枚举法)，要求稀疏集中不含有成员(i,i),i?1,2,3.
9. 利用Lingo软件的基本要素形式求解例B1的线性规划.
10. 利用Lingo软件的基本要素形式求解课堂练习1-3.
11. 任意给定一个直角三角形，编写Lingo模型求包含该三角形的最小正方形的边长. 12. 编写Lingo模型求向量(1,2,…,100)所有元素的和.
13. 一奶制品加工厂用牛奶生产A,B两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤B．根据市场需求，生产的A,B奶制品能全部售出，且每公斤A获利24元，每公斤B获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备每天至多能加工100公斤
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数学建模
A，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一
步讨论一下3个问题：
（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶？ （2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ （3）由于市场需求变化，每公斤A获利增加到30元，应否改变生产计划？
B6.2 拓展练习
1. 查阅运筹学方面的书籍或者借助互联网，认识最短路径问题，了解其求解算法，建立其数学模型，运用Lingo软件求解本章中的例B4和课堂练习7.
2. 查阅运筹学方面的书籍或者借助互联网，认识最小生成树问题，了解其求解算法并给予MATLAB实现，解答下面问题：
（1）我国西部的SV地区共有1个城市（记为v1）和9个乡镇（记为v2～v10）组成，该地区不久将用上天然气，其中城市1含有井源．现在要设计一个供气系统，使得从城市v1到每个乡镇都有一条管道相连，并且铺设管道的量尽可能少．附图2.7给出了SV地区的地理位置图，附表2.8给出了城镇之间的距离．
v1 v2v4v3v5
v6v9v7v10v8 附图2.7 SV地区的地理位置图
附表2.8 SV地区城镇之间的距离
城镇 v2
v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10
v1 8 5 9 12 14 12 16 17 22 v2 9 15 17 8 11 18 14 22 v3 7 9 11 7 12 12 17 v4 3 17 10 7 15 18 v5 8 10 6 15 15 v6 9 14 8 16 v7 8 6 11 v8 11 11 v9 10
（2）某公司要为一个客户设计一个有9个通信站点的局部网路，使其造价最低．这9个站点的直角坐标为：a1(0,15),a2(5,20),a3(16,24),a4(20,20),a5(33,25),a6(23,11),
a7(35,7),a8(25,0),a9(10,3)．任意两个通信站点之间的线路费用正比于这两个站点间的直
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数学建模
角折线距离，即
d?x1?x2?y1?y2
假设不允许通信线在非站点处连接，问如何布线才能使连接通信站的线路费用最低．
3. 查阅运筹学方面的书籍或者借助互联网，认识网络流的最大流和最小费用最大流问题，了解其求解算法，建立其数学模型，运用Lingo软件求解下面问题：
（1）现需要将城市A的石油通过管道输送到城市B，中间经过4个中转站v1,v2,v3,v4，城市与中转站的连接，各管道的容量以及单位费用见附图2.8（图中边上的第1个数字为容量，第2个数字为单位费用），求城市A到城市B石油的最大输送量以及相应的最低费用．
v18,2A ,29v37,8 5,6 2,15,56,4 B 10,7 v2v9,34
附图2.8 石油网络图
（2）在法国西南部有一家公司，这家公司需要将180吨存放于仓库D1到D4中的化学产品运输到3个回收中心C1，C2和C3．仓库D1到D4分别储存有50，40，35和65吨化学产品，总计为190吨．可以选用两种运输方式：公路运输和铁路运输．仓库D1只能通过公路向回收中心C1和C2进行运输，运费分别为12欧元/吨和14欧元/吨．仓库D2只能向回收中心C2运输，可以选择通过铁路或公路，运费分别为12欧元/吨和14欧元/吨．仓库D3可以通过公路向回收中心C2运输（9欧元/吨）或通过铁路或公路向回收中心C3运输，运费分别为4欧元/吨和5欧元/吨．仓库D4可以通过铁路或公路向回收中心C2运输，运费分别为11欧元/吨和14欧元/吨，或通过铁路或公路向回收中心C3运输，运费分别为10欧元/吨和14欧元/吨．
此公司与铁路公司签订的化学物品运输合同规定，每次运输量至少应为10吨，最多为50吨．除了标准的安全规章外，对公路运输不存在其他特殊的限制．问公司应如何运输这180吨化学物品才能够使得总运费最低？
4. 某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）及水泥日用量d（单位：t）见附表2.9.现需要修建两个料场，要求其日储量都为20t.假设从料场到工地之间均有直线道路相连，问应建在何处，可使得所需的吨千米数最少.
附表2.9 工地位置与水泥日用量
1 2 3 4 5 6 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75 3 5 4 7 6 11 x y d B6.3 课外实践
当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行．又由于发电机组的物理特性限制，发电机组不能够随心所欲地发出需要的电力．为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的
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数学建模
未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小．
在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成，它们是启动成本，空载成本和增量成本．启动成本是指机组从停运状态（不发电）变为运行状态（发电）时发生的成本；空载成本是指只要机组处于运行状态，就会发生的成本；增量成本是指与该机组发电量有关的成本，如某发电机组的增量发电量(单位：MWh)为10, 15，增量成本(单位：￥/MWh)为8, 12，则表示当该机组的发电出力在[0,10]MW范围时，每MWh的成本为8￥/MWh；当该机组的发电出力在[10,25]MW范围时，每MWh的成本为12￥/MWh．
需要考虑的约束有：
1．负荷平衡约束：任何小时，电力负荷之和必须等于发电机发电出力之和．
2．系统备用约束：处于运行状态的发电机的最大发电能力减去其出力称为该发电机的备用容量，处于停运状态的发电机的备用容量为0．任何小时，发电机的备用容量之和必须大于系统备用要求．
3．输电线路传输容量约束：线路传输的电能必须在它的传输容量范围内．
4．发电机组出力范围约束：处于运行状态的发电机组的发电出力必须小于其最大发电能力（单位：MW）．
5．机组增出力约束（单位：MW/h）：发电机组在增加发电出力时，不能太快，有一个增加出力的速度上限，在一定时间内（通常是10分钟，为简单起见，本问题取1个小时）不能超过额定范围．
6．机组减出力约束（单位：MW/h）：与机组增出力约束类似，发电机组在减少发电出力时也有一个减少出力的速度上限．
问题（1）
有一个3母线系统，由2台机组(G1和G2)、1个负荷(Bus2)和3条输电线路组成，见附图2.9．已知4个小时的负荷（单位：MW）分别为100,130,170和140；相应的系统备用要求（单位：MW）分别为20，30，50和40；3条输电线路line0-1，line0-2和line1-2的最大输电传输容量(MW)分别为200，100和200．3条线路的线性转移系数如附表2.10所示.其它数据见附表2.11和附表2.12．
G1 Bus 0 Line 0-1 Line 0-2 Bus 1 G2 Line 1-2 Bus 2 L 附图2.9 母线系统接线示意图 附表2.10线性转移因子(LSF)
line0-1 line0-2 line1-2 bus 0 0 0 0 bus 1 -0.6667 -0.3333 0.3333 bus 2 -0.3333 -0.6667 -0.3333 附表2.11 机组物理特性及初始状态
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数学建模
机组 G1 G2 所在母线 Bus0 Bus1 最大出力(MW) 最大增出力(MW/h) 200 100 30 40 最大减出力(MW/h) 50 60 初始状态 运行2小时 关机3小时 初始兆瓦 100 0 附表2.12 机组成本曲线(所有小时都相同)
机组 G1 G2 启动成本(￥) 350 100 空载成本(￥) 100 200 增量发电量(MWh) 100,100 60,40 增量成本(￥/MWh) 10,14 12,15 线性转移系数可用来计算某条线路上流过的电能，如线路line0-1上流过的电能Pline0?1等于
Pline0?1?0?Pinj,bus0?0.6667?Pinj,bus1?0.3333?Pinj,bus2
其中Pinj,busi为母线（Bus）i上的注入功率，也就是该母线上的发电出力之和与该母线上的电力负荷之和的差（注入功率为正，表示有电能从该母线注入系统；注入功率为负，表示在该母线上有负荷需要消耗电能）．对于本线路，由于母线Bus0上只有一个发电机组G1，而且没有电力负荷，所以Pinj,bus0?PG1．
线路上流过的电能是有方向的．比如，当Pline0?1?0时，表示有Pline0?1MW的电能从Bus0流向Bus1；反之，当Pline0?1?0时，则表示有?Pline0?1MW的电能从Bus1流向Bus0．但是不论电能是从哪个母线流向哪个母线，其值都不能超过该输电线路传输容量．
请给出这4个小时的最优机组组合计划，最终结果应包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用．(全国大学生电工数模竞赛试题)
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