高中数学教案 第四章三角函数（第18课时）
课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（7）
教学目的：
引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式．
教学重点：复角公式的运用和技能的提高
教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1．两角和与差的正、余弦公式
cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin(???)?sin?cos??sin?cos? sin(???)?sin?cos??sin?cos?
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan? tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?
2推导公式：?
asin??bcos??a?b(22aa?b22sin??ba?b22cos?)
由于(aa?b22)?(2ba?b22)?1?
2sin2θ＋cos2θ＝1? (1)若令
aa?b22＝sinθ，则
ba?b22＝cosθ?
∴asinα＋bcosα＝a?bcos（θ－α）?
22a?b22（sinθsinα＋cosθcosα）＝
或＝a?bcos（α－θ）?
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(2)若令
2aa?b2＝cos?，则
ba?b22＝sin??
∴asinα＋bcosα＝a?bsin（α＋?）
22a?b22（sinαcos?＋cosαsin?）＝
例如：2sinθ＋cosθ＝22?12(2555sin??55cos?)
若令cos?＝
255，则sin?＝
5
∴2sinθ＋cosθ＝5（sinθcos?＋cosθsin?）＝5sin（θ＋?）?
若令
255＝sinβ，则
55＝cosβ?
∴2sinθ＋cosθ＝5（cosθcosβ＋sinθsinβ）＝5cos（θ－β）或
＝5cos（β－θ）
看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式
二、讲解范例：
?3例1（辅助角）函数y?32?63sin(?2x)?cos2x的最小值
解：y?3(cos2x?12sin2x)?cos2x?12cos2x?32sin2x
?sin(?2x)??1 例2（角变换）已知sin(x?解：sin2x?cos(?2?4)??513?4，求sin2x的值。
)]
?2x)?cos[2(x? 第 2页（共8页）
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?1?2sin(x?2?4)?1?2(?513)?2119169
例3（公式逆用）计算：(1 +3)tan15??3
解：原式= (tan45?+ tan60?)tan15??3 =tan105?(1?tan45?tan60?)tan15? ?3
= (1 ?3) tan105? tan15? ?3= (1 ?3)×(? 1)?3= ? 1 例4（角变换）已知sin(45? ? ?) = ?23，且45? < ? < 90?，求sin?
53解：∵45? < ? < 90? ∴?45? < 45??? < 0? ∴cos(45???) = cos2? = sin(90??2?) = sin[2(45???)]
= 2sin(45???)cos(45???) =?459459
22?610即 1 ? sin? = ?2
， 解之得：sin? =
例5已知?是三角形中的一个最小的内角， 且acos2?2?sin22?2?cos22?2?asin22?2?a?1，求a的取值范围
2解：原式变形：a(cos?2?sin?2)?(cos?2?sin?2)?a?1
即(a?1)cos??a?1，显然a?1 （若a?1，则 0 = 2） ∴cos??a?1a?1?1又∵0???，∴?cos??1
32
即
12?a?1a?1?1 解之得：a??3
例6试求函数y?sinx?cosx?2sinxcosx?2的最大值和最小值若
x?[0,?2]呢？
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解：1．设t?sinx?cosx?2sin(x??4)?[?2,2]
则t2?1?2sinxcosx ∴2sinxcosx?t2?1 ∴y?t2?t?1?(t?∴ymax?3?2．若x?[0,?22,12)?34214?[34,3?2]
ymin?
2]，∴y?[3,3?2]
]，则t?[1, 即ymax?3?2,ymin?3
?6例7 已知tan? = 3tan(? + ?)，??sin?cos?3sin(???)cos(???)，求sin(2? + ?)的值 解：由题设：
? 即sin? cos(? + ?) = 3sin(? + ?)cos?
即sin(? + ?) cos? + cos(? + ?)sin? = 2sin? cos(? + ?) ? 2cos?sin(? + ?) ∴sin(2? + ?) = ?2sin? 又∵??三、课堂练习：
1?(1)sin??sin?????31 已知 ?
?cos??cos??1(2)?2??6 ∴sin??12 ∴sin(2? + ?) = ?1
?、?均为锐角，求sin(???)的值．
分析：由于sin(???)?sin?cos??cos?sin?，由已知两式一时得不到
sin?cos?与cos?sin?的值，而只能出现sin?sin?与cos?cos?一类的值，
例如(1)+(2)cos(???)?22 ,得2?2(cos?cos??sin?sin?)?1336，化简、整理得
5972．由此要求sin(???)的值，固然有路可循，但是还要进一步定
出sin(???)的值的符号才行．
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２ 已知0???sin(???)的值．
??4,4???3?4,cos(?4??)?35,sin(3?4??)?513,求
提示：sin(???)??cos(?56??3??． ????)??cos?(??)?(??)?＝65244?? ３ 已知cos(???)?0,求证sin(??2?)?sin?．
分析：比较已知与求证部分，必然要做如下变换为宜： ??2??(???)??． 解：sin(??2?)?sin?(???)????sin(???)cos?，
而cos??cos?(???)????sin(???)sin?，注意到sin(???)??1，得
sin(??2?)?sin(???)sin??sin?
2四、小结 常用技巧：1?化弦 2?化“1” 3?正切的和、积
4?角变换 5?“升幂”与“降次” 6?辅助角 五、课后作业：
1求证：?
(1)32sin??12cos??sin(??2sin(???6))(2)cos??sin???4 )(3)2(sinx?cosx)?2cos(x??42利用和(差)角公式化简：?
(1)32sinx?12cosx(2)315sinx?35cosx(3)3sinx?cosx(4)26sin(
?3?x)?66cos(?3?x) 第 5页（共8页）