《高等数学》（下）试题
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本试题一共四道大题，共4页，满分100分，考试时间120分钟。 总 分 阅卷人 核分人 题号 题分 得分 一 15 二 40 三 35 四 10 注：1. 答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废。 2．试卷若有雷同以零分计。
一． 选择填空：(每小题3分，共15分，把所选答案填入右括号中.)
1．设L是从点(a,0)到点(?a,0)的一直线段，则??x?y?dx=（ ）
2LA .
12a B . 0 C.2a D 1
?22．幂级数?n!xn的收敛半径为（ ）
n?0A.R??? B.R=0 C.R=1 D.R=2
3．下列曲线积分在XOY面内与路径无关的是（ ）
A.?C.?(2,3)(1,1)(2x?3y)dx?(3x?y)dy B.?(2,3)(1,1)(2,3)(x?y)dx?(x?y)dy (2x?y)dx?(2x?y)dy
(2,3)(1,1)(x?y)dx?(2x?y)dy D.?2x(1,1)4. y???4y??4y?eA. Be2x 的一个特解应具有形式（ ）
2x B.Bxe C. Bxe22x D. (Bx?C)e
x5．下列级数中，发散的是（ ）
?A. ?n?11n2? B. ???1?n?1n1n? C. ?n?0sinx2nn? D. ???1?n?0n32nn
二． 填空题（每小题4分，共40分，把答案填入括号中）
6. 若G是单连通开区域，P,Q在G内具有一阶的连续偏导，则
?P?y??Q?x是积分
?PdxL?Qdy在G内与路径无关的（ ）条件；
7．设L为闭区域D的正向边界曲线，闭区域D的面积值为A，则，
1??2l； ydx?xdy=（ ）
??????8．向量场A?(x?y)i?(y?z)j?(z?x)k，则A的散度 divA=（ ）, ??； A的旋度rotA=（ ）
?９．设幂级数?anxn的收敛半径为R（R?0），则其和函数S(x)在（－R，R）内是可
n?0?导的，且有（?anxn)'=（ ）；
n?110．f(x)?cos3x关于x的幂级数展开式为（ ） 其收敛区间为（ ）；
??n???11．若级数?un收敛，则级数?un必定（ ）； limun?0是级数?un收敛的
n?1n?1n?1（ ）条件；
x2x12．以y?C1e?C2e为通解（其中C1,C2为任意常数）的微分方程为
( );
??13．rn(x)?s(x)?sn(x)称为?un(x)的余项（和函数与部分和之差），则在?un(x)的
n?1n?1收敛域上，必有（ ）；； 14．方程
dydx?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1)中，令z?（ ），可化为一阶线性方程，
方程
dy?y?????中，令u?（ ）可化为一阶可分离变量方程； dx?x?15.方程(x?y)(dx?dy)?dx?dy的积分因子是（ ）.
三． 解答题 （每小题7分，共35分）
高等数学（下）试卷第2 页
16. f(x)连续，且满足f(x)?
?x03f(3t)dt?x3,求f(x).
17．计算?(x?2y)dx?(y?2x)dy，其中L是抛物线y?x2上从（0，0）到
L（1，1）的一段弧.
2218．计算??(x?y)ds，其中?是为抛物面z?1?(x?y)在XOY面上方的部分.
22?
高等数学（下）试卷第3 页
19．将 f(x)??
?1?0,,0?x?1,1?x?? 展开成正弦级数.
?20．在收敛域??1,1?内，求函数项级数 ?n?0xnn?1的和函数S(x).
四．应用题 （10分）
21 ．一单位质点从静止开始作直线运动， 受到一个与运动方向一致，大小与时间成正比(比例系数是3) 的力的作用，此外还受到一个与速度成正比（比例系数是2)的阻力作用，求此质点的运动速度与时间的函数关系.
高等数学（下）试卷第4 页
高等数学下试题(A)解答及评分标准
一．BBACD（每小题3分） 二．（每小题4分） 6 充分且必要 7 A 8 3, ???i?j?k 9 ?10 ??n?1nanxn?1 ???1?n?0n32n?2n?!x2n, ???,??? 11 收敛， 必要 12 y???3y??2y?0 13 limrn(x)?0 n??14 z?yu?1?n15 ， 1x?y yx 三．（每小题７分）
16．解: 记y?f(x)，两端对求x导，化简得
y??3xy??3x
3xy?e?222dx?2??3x?3xe???x32dx33?x2?xdx?C?e???3xedx?C?
???? ?ex3?e????1??C?Ce
x3注意 x?0,y?0，代入上式解得 C??1
所以，y?1?ex
217．解: （法1） l:y?x，由O?0,0??B?1,1?，dy?2xdx
322原式=???x?2x???x?2x?2x?dx??0?11??2x013?6x?x?dx
21?1? =?x4?2x3?x2???1
2?0?2
高等数学（下）试卷第5 页