（法二）P?x?2y,Q?y?2x,?P?y??Q?x??2，积分与路径无关.
选折线路径：O?0,0??A?1,0??B?1,1?，则 原式=?xdx?01??y?2?dy
01 =
121x202?1221y20?2??1
18．计算??(x?y)ds，其中?是为抛物面z?1?(x2?y2)在XOY面上方的部分.
?解：?在XOY面上投影区域： D?ds?2??x,y?x222?y?1
2?1?zx?zydxdy?22221?4?x?y22?dxdy
2??(x?y)ds????(x?y)1?4(x?y)dxdy
D极坐标?2?0d??r0121?4rrdr?2??211?84?10??1?4r2??1??1?4r2???12d?1?4r2?
???16??10?1?4r232?1?4r212?d1?4r2??????????252?1?4r?16?51?25560??2??1?4r?32232???01
??
19．解：将f(x) 在(??,??)上奇延拓后，再以2?为周期延拓到R上的F(x)，则F(x)满足Dirichlet 定理条件，且 F(x)?f(x),x??0,??
显然 an?0,n?0,1,2,?
2?11?sinnxdx???0??20?sinnxdx???1?cosn????n?4sin2n2
bn???1n?
高等数学（下）试卷第6 页
? f(x)?20．
?n?n?14sin2n2?sinnx，x??0,1???1,??
解： 显然，S(0)?1，
?x?0时，xS(x)??n?0xn?1n?1?，因为在收敛域内，可逐项求导，所以，
???xn?1???xS(x)??????n?1?n?0?xS(x)??n?0x?n11?x,0?x?1
?1011?xdx??ln?1?x?,0?x?1
综上述
1,??S(x)??ln(1?x),???xx?00?x?1
四．（10分） 21解 由已知 m?1,???F?f1?f2?3t?2v， 根据Newton第二定律有 dvdt?3t?2v,t?0,v?0
?Pdt??Pdtdt?C??e?2t?3te2tdt?C?v?e?Qe?????????e?2t?3?32t?2t2t?1e?C?2t?1?Ce?????4?4??3
由初始条件, 解得C?
34, 所以 v??e4?2t?2t?1?,(t?0)
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