第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1．平面向量的数量积
若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；
(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__，a·a＝__a2__，|a|＝__a·a__；
(4)cos θ＝__
a·b__； |a||b|分值：5分 考情分析 2016·全国卷Ⅰ，13 2016·全国卷Ⅲ，3 2016·北京卷，4 2016·天津卷，7 2016·山东卷，8 命题趋势 1.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题． 2．数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查. (5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝__b·a__(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__a·(λb)__(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__. 5．平面向量数量积性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__； 由此得到：
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝__x2＋y2__，或|a|＝__x2＋y2__；
→(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝__?x1－x2?2＋?y1－y2?2__； (3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__. 6．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (3)(a－b)2＝__a2－2a·b＋b2__.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零．( √ ) (2)若a∥b，则必有a·b≠0.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( × ) (4)若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角．( × )
解析 (1)正确．由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负，为直角时结果为零．
(2)错误．当a与b至少有一个为0时a∥b，但a·b＝0. (3)正确．由数量积与向量线性运算的意义可知，正确． (4)错误．当a·b＝－|a||b|时，a与b的夹角为π. 2．下列四个命题中真命题的个数为( C )
①若a·b＝0，则a⊥b；②若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a·b)2
＝a2·b2.
A．4 C．0
B．2 D．3
解析 a·b＝0时，a⊥b，或a＝0，或b＝0.故①命题错．
∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)．故②命题错误．∵a·b与b·c都是实数，故(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，
∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等．故③命题不正确．
∵(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2＝a2·b2.故④命题不正确． →→3．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC＝( D ) 3
A．－
22
C．
3
2
B．－
33D．
2
AB2＋AC2－BC29＋4－101→→→→
解析 在△ABC中，cos ∠BAC＝＝＝，∴AB·AC＝|AB||AC|cos
2AB·AC2×3×2413
∠BAC＝3×2×＝.
42
4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( A ) A．－1 C．－2
B．1 D．2
解析 λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)．∵λa＋b与a垂直， ∴(λa＋b)·a＝10λ＋10＝0，∴λ＝－1.
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( C ) A．13 C．
65
5
B．
13
5
D．65
65a·b2×?－4?＋3×713
＝＝＝. |b|565?－4?2＋72
解析 |a|cos θ＝
一 平面向量的数量积运算
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
【例1】 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C ) A．－1 C．1
B．0 D．2
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝__23__. 解析 (1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. (2)|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2
＝
14＋4×2×1×＋4＝23.
2二 平面向量的夹角与垂直
a·b
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝(夹角公式)，a⊥b?a·b
|a||b|＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．
→→
【例2】 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，其外接圆的圆心为O，则AO·BC＝__10__.
4－∞，－?(2)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__?3??110，?∪?，＋∞?__. ∪??3??3?→→→解析 (1)如图，取BC的中点M，连OM，AM，则AO＝AM＋MO，
→→→→→∴AO·BC＝(AM＋MO)·BC.
→→∵O为△ABC的外心，∴OM⊥BC，即OM·BC＝0， →→→→1→→→→∴AO·BC＝AM·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝
21→2→21221
(AC－AB)＝(6－4)＝×20＝10. 222
(2)a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，
?3λ2＋4λ>0，?411则?解得λ<－或0<λ<或λ>， 2333??2λ－6λ≠0，
411
－∞，－?∪?0，?∪?，＋∞?. 所以λ的取值范围是?3??3??3??
三 平面向量的模及综合应用
向量模的运算方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝x2＋y2.
(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
【例3】 (1)在平面直角坐标系内，已知B(－3，－33)，C(3，－33)，且H(x，y)是→→
曲线x2＋y2＝1上任意一点，则BH·CH的最大值为__63＋19__. (2)(2018·河北石家庄二模)已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是__2＋1__. →→→→
解析 (1)由题意得BH＝(x＋3，y＋33)，CH＝(x－3，y＋33)，所以BH·CH＝(x＋3，y＋33)·(x－3，y＋33)
＝x2＋y2－9＋63y＋27＝63y＋19≤63＋19，当且仅当y＝1时取最大值． (2)设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ， 32a·b∴cos θ＝＝＝，
|a||b|3×22π
∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 4
→→
设OA＝a，OB＝b，c＝(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(1,1)，B(3,0)，
∴c－2a＝(x－2，y－2)，2b－3c＝(6－3x，－3y)， ∵(c－2a)·(2b－3c)＝0，∴(x－2)·(6－3x)＋(y－2)·(－3y)＝0. 即(x－2)2＋(y－1)2＝1.又知b－c＝(3－x，－y)，
∴|b－c|＝?x－3?2＋y2≤?3－2?2＋?0－1?2＋1＝2＋1， 即|b－c|的最大值为2＋1.
→→→→1．在△ABC中，已知向量AB＝(2,2)，|AC|＝2，AB·AC＝－4，则△ABC的面积为( C ) A．4 C．2
B．5 D．3
→→
解析 ∵AB＝(2,2)，∴|AB|＝22＋22＝22. →→→→∵AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝22×2cos A＝－4， ∴cos A＝－
22，∵0
1→→
∴S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝2.
2
→→→→
2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC且|OA