→→→
|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为( A )
1
A．
21
C．－
2
B．
3
23 2
D．－→→→→
解析 由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以|OA|→→→→
＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°.所以向1→→→
量BA在BC方向上的投影为|BA|cos ∠ABC＝1×cos 60°＝.故选A．
2
3．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是__3__. 3?3e1－e2?·?e1＋λe2?3－λ
解析 因为＝，
|3e1－e2|·|e1＋λe2|21＋λ2故
13＝，解得λ＝.
321＋λ223－λ
3x3xxxππ
cos ，sin ?，b＝?cos ，－sin ?，且x∈?－，?. 4．已知向量a＝?22?22????34?(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值． 解析 (1)a·b＝cos
3xx3xx
cos －sin sin ＝cos 2x. 2222
3xx3xx
cos ＋cos ，sin －sin ?， ∵a＋b＝?2222??∴|a＋b|＝
?cos 3x＋cos x?2＋?sin 3x－sin x?2
22??22??
＝2＋2cos 2x＝2|cos x|.
ππ
－，?，∴cos x>0，∴|a＋b|＝2cos x. ∵x∈??34?(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos 2x－2cos x－1 13cos x－?2－. ＝2?2?2?
ππ113
－，?，∴≤cos x≤1，∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，∵x∈??34?222f(x)取得最大值－1.
易错点 忽视或弄错向量的几何表示
错因分析：利用向量的几何意义表示三角形的四心，关键是弄清这四心的定义及性质． →→→→→→【例1】 已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝→→→→→→0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
解析 第一个条件表明O到A，B，C三顶点的距离相等，即为△ABC的外心，设D为→→→BC的中点，则NB＋NC＝2ND，
→→
∴NA＋2ND＝0，则N为△ABC的中线AD靠近D的三等分点，即为△ABC的重心；→→→→由PA·PB＝PB·PC得
→→→→→→→
PB·(PC－PA)＝0，∴PB·AC＝0，同理PA·BC＝0，
→→PC·AB＝0，则知P与三顶点的连线和对边垂直，所以P为△ABC的垂心，故选C． 答案 C
【跟踪训练1】 已知O是平面内的一定点，A，B，C是此平面内不共线的三个动点，→→→→若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( C )
A．内心 C．重心
B．外心 D．垂心
→→→→→→→
解析 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，→→→
知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
课时达标 第26讲
[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．
一、选择题
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( D ) 1
A．x＝－
2C．x＝5
B．x＝－1 D．x＝0
解析 由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.
2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos 〈a，a＋b〉＝( C )
1
A．
2C．
3
2
1B．－ 2D．－3 2
解析 设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1， 113∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.
222∵|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋1＝3， 3
23
∴cos〈a，a＋b〉＝＝. 1×32
→→→→→→
3．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为( A )
A．43 C．4
B．23 D．2
→→
OA·OB413
解析 因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求
2→→2×42
|OA||OB|→→
的平行四边形的面积为|OA|·|OB|·sin∠AOB＝43，故选A．
4．(2018·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为( D )
1
A．－
21
C．
2
B．－D．
3 2
3 2
解析 ∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，13
b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝，故选D．
22
→→→5．(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是( C )
A．等腰直角三角形 C．等边三角形
B．非等腰直角三角形 D．钝角三角形
→→→→→→→→→→解析 因为(AB＋AC)·BC＝0，所以(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以AC2－AB2＝0，即|AC|→
＝|AB|，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所π
以3B＝π，B＝，故△ABC是等边三角形．
3
→→→
6．(2018·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( C ) A．2 C．6
B．2 D．6
1→→→→→→→→→→→解析 由AB·AC＝|AB||AC|cos 120°＝－|AB||AC|＝－1，得|AB||AC|＝2，|BC|2＝|AC－AB|2
2→→→→→→→→→＝AC2＋AB2－2AB·AC＝AC2＋AB2＋2≥2|AC||AB|＋2＝6，当且仅当|AC|＝|AB|时等号成立．所→
以|BC|≥6，故选C．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝__－2__. 解析 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a·b＝0，即m＋2＝0，∴m＝－2.
→1→→→→
8．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为__90°__.
2→1→→→→
解析 由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的
2夹角为90°.
9．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2
→→＝50上．若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是__[－52，1]__. →→
解析 设P(x，y)，则PA·PB＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20，又x2
＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)，又点P
??y＝2x＋5，在圆x＋y＝50上，由?22解得x＝－5或x＝1，结合图象(图略)，可得－52
?x＋y＝50，?
2
2
≤x≤1，故点P的横坐标的取值范围是[－52，1]．
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 1
－?＝－16. 解析 由已知得，a·b＝4×8×??2?(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝43.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝163.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
11．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A3
－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
5
(1)求sin A的值；
→→
(2)若a＝42，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影． 3
解析 (1)由m·n＝－，
5
33
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，所以cos A＝－.
554
因为0
545×5bsin A2
(2)由正弦定理，得sin B＝＝＝，
a422π
因为a>b，所以A>B，则B＝. 4
3
－?，解得c＝1， 由余弦定理得(42)2＝52＋c2－2×5c×??5?22→→→
故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ccos B＝1×＝. 22
→→→
12．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA，OB，OC的模分别为2，3，4.
→→→(1)求|OA＋OB＋OC|；
→→→
(2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值．
→→→→
解析 (1)由已知易知OA·OB＝|OA|·|OB|·cos ∠AOB＝－3， →→→→→→OA·OC＝|OA|·|OC|·cos ∠AOC＝－4，OB·OC＝0，
→→→→→→→→→→→→→→∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋→
OC|＝3.
→→→→→→→→→→→→→(2)由OC＝mOA＋nOB可得OA·OC＝mOA2＋nOA·OB，且OB·OC＝mOB·OA＋nOB2，
??4m－3n＝－4，∴?∴m＝n＝－4. ?－3m＋3n＝0，?