2011年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)
一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设f(x)是连续函数, 且lim1(x)?xff(x)??4, 则lim?1??? x?0x?01?cosxx??e2.
2x2?3?ax?b , 若 limf(x)?0, 则 a??2, b??4. 2. 设f(x)?x??x?2?x?13. ?e??lnx?dx? exlnx?C.
?x?4. 设f(x,y)是连续函数, 且f(x,y)?xy?直线x?y?1围成, 则f(x,y)???Df(x,y)dxdy,其中D由x轴、y轴以及
.
xy?1125. 椭球面x2?2y2?z2?1平行于平面x?y?2z?0的切平面方程为
x?y?2z?1111?0 和 x?y?2z??0. 22二. 选择题（本题15分，每小题3分）:
1. 设f(x)?(2?x)ln(1?x), 则f(x)在x?0处
(A) f?(0)??2, (B) f?(0)?0, (C) f?(0)?2, (D) 不可导. 答: (A)
2. 设函数y?f(x)具有二阶导数, 且满足方程y???y??esinx?0.已知f?(x0)?0,则
(A) f(x)在x0 的某个邻域中单调增加, (B) f(x)在x0 的某个邻域中单调增少, (C) f(x)在x0处取得极小值, (D) f(x)在x0处取得极大值.
答: ( C)
3. 图中曲线段的方程为y?f(x), 函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数, 则积分
?a0xf?(x)dx表示
(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)
4. 设在区间 [a,b]上的函数f(x)?0, 且 f?(x)?0, f??(x)?0. 令 S1??baf(x)dx,
1S2?f(b)(b?a), S3?[f(a)?f(b)](b?a), 则
2(A) S1?S2?S3, (B) S3?S1?S2, (C) S2?S1?S3, (D) S2?S3?S1.
1
答: (C )
5. 设 曲面??{(x,y,z)|z?x2?y2,0?z?1},取上侧为正, ?1是 ?在 x?0的部分, 则曲面积分 (A)
(C)
?????xdydz?0, (B) ??zdxdy?2??zdxdy.
??1?y2dydz?2??y2dydz, (D) ??x2dydz?2??x2dydz,
?1??12答: (B)
t?x??0[(t?1)?0?(u)du]dt,三. (6分) 设函数 f?x???2sinx??0,f(x)在x?0处的连续性及可导性.
x?0, 其中函数?处处连续. 讨论x?0.x2?解 limf(x)?limx?0x?0x0[(t?1)??(u)du]dt0t2x2?limx?0(x?1)??(u)du02x
?limx?0x??(u)du0x22xx??limx?0x20?(u)du2x2x??(x2)?0?f(0) ?0?limx?02x2因此, f(x)在x?0处连续.
[(t?1)??(u)du]dt(x?1)??(u)du?f(x)?f(0)000 lim ?lim?limx?0x?0x?0xx33x2x??(u)du1?(u)du?1100???(0) ?lim ?lim22x?0x?033x3x1因此, f(x)在x?0处可导, 且 f?(0)???(0).3
四. (6分) 设函数x?x(t)由方程tcosx?x?0确定, 又函数y?y(x)由方程ey?2?xy?1确定,
求复合函数y?y(x(t))的导数
x2x2t2dydt.
t?0解 方程tcosx?x?0两边对t求导
dxdx??0.方程ey?2?xy?1 两边对x求导 dtdt
dyy?2dy??y?x??0. edxdxdyy?y?2?2. 当 x?0时,y?2,
dxx?0e?xx?0 cosx?tsinx?y?2 因此,
2
dydy?dtt?0dx?x?0dx??2. dtt?0五. (6分) 设函数f(x)在(??,??)上二阶可导，且lim1f(x)?0，记?(x)??f?(xt)dt，
x?0x0求?(x)的导数，并讨论??(x)在x?0处的连续性.
解 由已知的极限知f(0)?0,f?(0)?0, 从而有 ?(0)??10f?(0)dt?0.
当 x?0时, ?(x)??1110f?(xt)dt?x?0f?(xt)d(xt)?1xx?0f?(u)du?f(x)x,从而有
?f(x) ?(x)???x,x?0
??0,x?0.因为
limf(x)x?0?(x)?limx?0x?0??(0), 所以, ?(x)在x?0处连续. 当 x?0时, ??(x)?xf?(x)?f(x)x2, 在x?0处, 由?(0)?0, 有 ??(0)?lim?(x)??(0)f(x)f?x?0x?limx?0x2?lim(x)x?02x?12f??(0) 所以,
?xf?(x)?x?0 ??(x)??f(x)??x2,
?1??2f??(0),x?0.而
limx?0??(x)?limf?(x)f(x)x?0x?limf?(x)f?(x)x?0x2?limx?0x?limx?02x
?1f?(x)2limx?0x?12limf?(x)?f?(0)x?0x?12f??(0)???(0), 故 ??(x)在x?0处连续
六. (7分) 设函数y?y(x)在(??,??)上可导, 且满足: y??x2?y2,y(0)?0.
(Ⅰ) 研究y(x)在区间(0,??)的单调性和曲线y?y(x)的凹凸性.
(Ⅱ) 求极限 limy(x)x?0x3.
解 (Ⅰ) 当x?0时, 有
y??x
2?y2?0,
3
故 y(x)在区间(0,??)单调增加. 从而当x?0时, y??x2?y2也单调增加. 可见, 曲线
y?y(x)在区间(0,??)向下凸.
(或当x?0时, 可得
y???2x?2y?y??2x?2y(x2?y2)?0. 可见, 曲线y?y(x)在区间(0,??)向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, y(0)?y?(0)?0. 应用洛必达法则
y(x)y?(x)x2?y2?lim lim3?lim
x?0xx?03x2x?03x211?y?1112 ??lim?????y?(0)??.
3x?03?x?333七. (7分) 设f(x)在[0,1]上具有连续导数, 且0?f?(x)?1,f(0)?0. 试证
?1f(x)dx]??1[f(x)]3dx.?0???0? ?
xx证 令 F(x)???f(t)dt???[f(t)]3dt,则 F(x)在 [0,1]连续, 且对 x?(0,1),
??0?0?
222 F?(x)?2f(x)?x0f(t)dt?[f(x)]3
x2? ?f(x)2?f(t)dt?f(x)?.
???0? 又由题设知, 当x?(0,1)时, f(x)?0. 令g(x)?2上连续, 且
g?(x)?2f(x)[1?f?(x)]?0, 故有
?x0f(t)dt?f2(x), 则g(x)在[0,1]x?(0,1),
x?(0,1). g(x)?g(0)?0因此
F?(x)?0,x?(0,1),
于是F(x)在[0,1]上单调增加, F(x)?F(0)?0,x?[0,1]. 取x?1, 即得
11 F(1)???f(t)dt???[f(t)]3dt?0.
??0?0?2所证结论成立.
八. (7分) 设函数y?f(x)具有二阶导数, 且f??(x)?0. 直线La是曲线y?f(x)上任意一点
(a,f(a))处的切线, 其中a?[0,1]. 记直线La与曲线y?f(x)以及直线x?0,x?1所围成
的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a). 试问a为何值时V(a)取得最小值. 解 切线La的方程为 y?f(a)?f?(a)(x?a), 即 y?f?(a)x?af?(a)?f(a).
y La
Oa1x4
于是
V(a)?2??10x[f(x)?f?(a)x?af?(a)?f(a)]dx
10 ?2?????xf(x)dx?1a1?f?(a)?f?(a)?f(a)?. 322?可见, V(a)在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令
1a?f??(a)?f??(a)]?f??(a)(3a?2)?0, 3232由于 f??(a)?0, V(a)在(0,1)内有唯一的驻点a?.
3222 并且, 当 a?(0,)时, V?(a)?0; 当a?(,1)时, V?(a)?0, 因此, V(a)在a?处
333 V?(a)?2?[?取得最小值. 九. (7分) 计算
?L(siny?y)dx?(xcosy?1)dy,其中L为从点O(0,0)沿圆周x2?y2?2x在第
y一象限部分到点A(1,1)的路径.
解 令 P?siny?y,Q?xcosy?1, 则
A(1,1)?Q?P??cosy?(cosy?1)?1.
?x?y取点B(1,0). 作有向直线段OB, 其方程为 y?0(x从0变到1).
O B(1,0)x作有向直线段BA, 其方程为 x?1(y从0变到1). 由曲线L、有向直线段AB和BO形成的闭曲线记为L0(沿顺时针方向), L0 所围成的区域记为D, 则
L(siny?y)dx?(xcosy?1)dy?
?(?????)((siny?y)dx?(xcosy?1)dy) ?L
0ABBO
????d???(siny?y)dx?(xcosy?1)dy
DBA ??OB(siny?y)dx?(xcosy?1)dy
111 ?????(cosy?1)dy?0 ????sin1?1.
044?：x??cos?,y??sin?,z??， 十. (8分) 设（1）有向闭曲线?是由圆锥螺线 OA（?从
0变到2?）和有向直线段 AO构成， 其中O?0,0,0?， A?2?,0,2??；
x2?y2划分成两部分，?是其中的有界部分.
?? （Ⅰ）如果F??z,1,?x? 表示一力场，求F沿?所做的功W；
? （Ⅱ）如果F??z,1,?x? 表示流体的流速，求流体通过?流向上侧的流量. (单位从略）
（2）闭曲线?将其所在的圆锥面z?5