解（Ⅰ）作有向直线段AO, 其方程为 ??所求F沿?所做的功为
W? ? ??y?0 (x从 2?变到0). ?z?x?zdx?dy?xdz ??????OA??AO?(zdx?dy?xdz)
0??2?0????cos???sin???sin???cos???cos???d???2??x?x?dx
2?0(?cos???2sin?)d??0?4?2.
x2?y2，曲面 ?上任一点处向上的一个法向量为
2 （Ⅱ）?所在的圆锥面方程为z?? n?(?zx,?zy,1)?(?x2x?yx?y
?在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为: 0?r??,0???2?.
故所求流体通过?流向上侧的流量为 ??,?y22,1),
y O2?xzdydz?dzdx?xdxdy????z?(?zx)?(?zy)?x??dxdy ????2??y?x?dxdy ???d???2rcos??sin??rdr ?????x?22??00?x?y??2??2??223??6? ????cos??sin?d?. ??02?3???? 注: (Ⅰ)的另一解法 应用Stokes公式， 可得 W????2dzdx?2???zydxdy?2????yx?y22?dxdy
??2?2?0d???02?rsin??rdr????2sin?d? ?4?2.
0r
十一. (8分) 设函数u?u(x,y)在心形线L:r?1?cos?所围闭区域D上具有二阶连续
??u偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向), 是u(x,y)沿L的
?n外法向的方向导数, L取逆时针方向. (Ⅰ) 证明:
?L??u?u?uds???dx??L?y?xdy. ?n?u?2u?2u (Ⅱ) 若2?2?x2y?y?1, 求??L?nds的值. ?x?y (Ⅰ) 证 由方向导数的定义
?L??其中, ?是n相对于 x轴正向的转角.
?u?u?uds??(cos??sin?)ds.?L?n?x?y
6
??? 设?1是 L的切向量?相对于x轴正向的转角, 则?1???,或 ???1?.故
2 2
?u?u?u ?ds?(sin???L?n??L?x1?ycos?1)ds.
(Ⅱ) 解 应用格林公式
????L?u?udx?dy.?y?x
由对称性
?L??u?2u?2uds???(2?2)dxdy???(x2y?y?1)dxdyD?xD?n?y
?1?cos??u ?L?nds???D1dxdy?2?0dx?0rdr?
?3??(1?cos?)2d???.02
22x2y2 十二.(8分) 设圆x?y?2y含于椭圆2?2?1的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即
ab在这两点处圆与椭圆都有公共切线).
(Ⅰ) 求 a与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a与b的值, 使椭圆的面积最小.
解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点(x0,y0), 则(x0,y0) 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在(x0,y0)处椭圆的切线斜
b2x0x率等于圆的切线斜率, 即?2??0. 注意到x0?0, 因此, 点(x0,y0)应满足
ay0y0?1???? ?????x02y02??1a2b2x02?y02?2y0b21?a2y0y0?1(1)(2)(3)
由(1)和(2)式, 得
b2?a22y0?2y0?a2?0.2bb2. 代入(4) 式 由 (3) 式得 y0?2
b?a2(4)
b2?a2b42b2 ?2?2?a2?0. 2222b(b?a)b?a7
b22242,化简得 a?2 或 ab?a?b?0. (5) 2b?a (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S??ab在约束条件 (5) 下的最小值.
2 构造函数L(a,b,?)?ab??(a2b2?a4?b2). 令
?La?b??(2ab2?4a3)?0?2?Lb?a??(2ab?2b)?0?L?a2b2?a4?b2?0??(6)(7)(8) (8) 式得 (6) ·a ? (7)·b , 并注意到 ??0, 可得 b2?2a4. 代入 2a6?a4?2a4?0, 故 a?632. 从而 b?2a2?. 22632,b?22 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当a?时, 此椭圆的面积最小.
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