《二次函数与一元二次方程》典型例题
例1 已知：二次函数y=x+2ax-2b+1和y=-x+(a-3)x+b-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值。
例2 已知二次函数y?ax?bx?c的图像如图所示.（1）试确定
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a,b,c,b2?4ac,2a?b,2a?b,a?b?c,a?b?c的符号；（2）求OA?OB的值；（3）求
?AMB的面积；（4）若OA?OC，求a,b,c之间的关系.
例3 抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且
2AQ?BQ，则ak的值等于（ ）.
（A）?1（B）?2（C）2 （D） 3.
例4 如图所示，直线AB是一次函数y?x?n的图像，直线AC是一次函数y??2x?m的图像（m?n?0）.（1）用m,n表示A点坐标；（2）若?ABC的面积为12，且A点在抛物线y?3x?2x?3上，求直线AB与AC的函数解析式.
例5 已知抛物线y?212x?x?2. 2（1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）如图，若直线l:y?kx(k?0)分别与抛物线交于两个不同点A、B，与直线y??x?4相交于点P，试证
OPOP??2； OAOB（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由.
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参考答案
例1 解：方法一 依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，则x1，x2为方程x+2ax-2b+1=0
的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1。
因为x1，x2又是方程-x+(a-3)x+b-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b．由此得方程组
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当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去。 当a=1，b=2时， 二次函数为y=x+2x-3和y=-x-2x+3符合题意，所以a=1，b=2。 方法二 因为二次函数y=x+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数
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a?3，又两个二次函数图象都经过x2a?3轴上两个不同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以?a?，
2y??x2?(a?3)x?b2?1的图象的对称轴为x?解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x+2x-2b+1和y=-x-2x+b-1。 依题意，令y=0得
x+2x-2b+1=0，(1) -x-2x+b-1=0，(2)
(1)+(2)得b-2b=0，解得b1=0，b2=2。 以下解法同方法一。
注意：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图
象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x20)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解。
方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解:x1、x2都是方程(1)和(2)的解,不妨设
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x12?2x1?2b?1?0,同时也应有?x12?2x1?b2?1?0,所以x12?2x1?2b?1?b2?1.从而推出2b=b2得解。
最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意。
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例2 分析：（1）观察图象，由二次函数的图象和性质或令x取?1，就可以确定几个式子的符号．（2）关键要能清楚OA?OB与x1x2之间的关系．
解：（1）∵抛物线开口向下， ∴a?0.
又∵抛物线的顶点在y轴的右侧， ∴?b?0，而a?0， ∴b?0. 2a又抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方， ∴c?0.
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ b?4ac?0. 又?x??2b?1,a?0， ∴2a?b?0. 2a?x??b??1,a?0， ∴2a?b?0. 2a当.x?1时，y?0，∴a?b?c?0. 当x??1时，y?0，∴a?b?c?0. （2）设A、B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0). ∴OA?x1??x1,OB?x2?x2，
?x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个不同的实数根，
∴x1x2?cc. ∴OA?OB??x1x2??. aa222cb2?4ac?b?（3）而(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?????4??. ?AB?x1?x2，2aa?a?b2?4ac?a?0,b?4ac?0，∴x1?x2?.
?a2∴S?AMB1(b2?4ac)b2?4ac?AB?DM?. 28a2（4）?OA?OC，∴?x1?c即x1??c.
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又?x1是方程ax?bx?c?0的一个根，由OA?OC知?c是它的另一个根，由方程根的定义，知ac?bc?c?0.
说明：本题是一道综合性较强的题目，把二次函数的问题转化成二次方程的问题，然后利用韦达定理来解决．
例3 分析 要解决本题，可运用化归的数学思想，将题中的抛物线向左平移2个单位，新的抛物线与y轴交于（0，k）点.可设新抛物线的解析式为y?ax?bx?k.这样就把问题转化为：“抛物线y?ax?bx?k与x轴交于A、B两点,与y轴交于Q点，若AQ?BQ，则ak= ，”从而把问题“化繁为简”.根据射影定理与韦达定理可得ak=?1. 例4 分析：（1）要求A点的坐标，可求方程组?2'2'22?y?x?n,的解；（2）要求直线AB与
?y??2x?mAC的解析式，就是要确定m,n的值.因A点在抛物线y?3x2?2x?3上，把A点的坐标代
入抛物线解析式得到一个关于m,n的方程，再由?ABC的面积为12，又得到一个关于m,n的方程，解由这两个方程组成的方程组即可.
m?n?x?,??y?x?n,?3
解：（1）解方程组?得?
m?2ny??2x?m??y?.?3?
∴A点的坐标为??m?nm?2n?,?.
3??3（2）∵A点在抛物线上，
m?2nm?n?m?n?∴?3???2??3. ?33?3?∴m?2mn?n?3m?9?0.
令y?0，则由0?x?n得x??n，由0??2x?m得x?∴B、C两点的坐标分别是B??n,0?,C?轴于D.
222m. 2?m?,0?，且参照图像可知n?0,m?0.作AD?x?2? 5