高等数学第一册期末
一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).
ln(1?3x)lim1. x?0sin2x= .
2. 设函数y?f(arctanx)，其中f(x)在(0,??)内可导，则dy= .
1dx?223. 设a?0，则a?2x=____________.
11?x2ln??121?xdx4. =__________. 5.
= __________.
6. 微分方程 y???y?4sinx的通解是 .
二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).
??1．设f(x)为可导的奇函数，且f(x0)?5，则f(?x0)?（ ）.
a?a?4?sin2xdx55? (A) ?5； (B) 5； (C) 2； (D) 2.
2. 设函数f(x)在点x0的某邻域有定义，则f(x)在点x0处可导的充要条件是
（ ）.
（A）
?x?x0limf(x)?limf(x)?x?x0； （B）
x?x0limf?(x)?f?(x0)；
??（C）f?(x0)?f?(x0)； （D）函数f(x)在点x0处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数s(t)，一条是汽车的速度函数v(t)，一条是汽车的加速度函数a(t)，则（ ）.
（A） 曲线a是s(t)的图形，曲线b是v(t)
的图形，曲线c是a(t)的图形； （B） 曲线b是s(t)的图形，曲线a是v(t) 的图形，曲线c是a(t)的图形；
（C） 曲线a是s(t)的图形，曲线c是v(t) 的图形，曲线b是a(t)的图形；
（D） 曲线c是s(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线a是a(t)的图形.
O t y a b c 4. 设y?f(x)是(a,b)内的可导函数，x1、x2(x1?x2)是(a,b)内任意两点，则( ).
?（A）f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)，其中?为(x1,x2)内任意一点 ； ?（B）至少存在一点??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)；
?（C）恰有一点??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1);
f(x)dx?f(ξ)(x2?x1)???(x,x)x12（D）至少存在一点，使.
1x2
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
?1??x???(1?x)?e1. 设函数f(x)????????a,???,x?0;在x?0处连续，求常数a的值.??x?01x
1??2?(n?1)?lim?sin?sin???sinn??nnnn?2. 求极限
???.
?3. 求定积分
4?1xxdx.
4. 求广义积分
???21dx(x?7)x?2.
四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1. 设函数y?y(x)是由方程
?y0edt??costdt0t2x2dy所确定的函数，求dx.
f(x)?2．设函数
1?sinx1?sinx，求f(x)的原函数.
?3．求微分方程y?ycosx?e
?sinx的通解．
3y?5?3x?x的凸性与拐点. 4．判断曲线
五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.
x?2?y2x?y1.曲线，及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转而成的立
体的体积.
L:y?2.求曲线
围图形的面积最小.
1?x24位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L以及两坐标轴所
3．有一半径为R的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h的地方，
求薄板一侧所受的水压力.
六、证明题（本题4分）.
nn?1n?2???x?1(n?2,3,4?)在(0,1)内必有唯一实根xn， 证明方程x?x?x