普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m}．若B?A，则实数m＝ ． 2．已知圆x－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ． 3．若函数f(x)＝a（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a＝ ．
3Cn4．计算：lim3＝ ．
n??n?1x225．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．
??1?，且?是第四象限的角，那么cos(??)＝ ． 527．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭
6．如果cos?＝
圆的标准方程是 ． 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－
?35?），则△OAB的面积是 ． 69．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
211．若曲线y＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ．
12．三个同学对问题“关于x的不等式x＋25＋|x－5x|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ） （A）AB＝DC；（B）AD＋AB＝AC；
??????
???
232??????D A B C
（C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0．
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一个平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分非必要条件．
15．若关于x的不等式(1?k2)x≤k＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[答（] ） （A）2∈M，0∈M； （B）2?M，0?M； （C）2∈M，0?M； （D）2?M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：
4????????????????
①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；
②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个； ③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 求函数y＝2cos(x??4)cos(x??4)＋3sin2x的值域和最小正周期．
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
??
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
??
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
22k?1??????
，数列{bn}满足bn＝
1log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数n列{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－
3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|2222≤4，求k的值．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）
已知函数y＝x＋数，在[a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函xa，＋∞)上是增函数．
2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；
xc2（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
xaa2（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
xx函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝
111(x2?)n＋(2?x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的
x2x研究结论）．
2006年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）
答案
一、填空题： 1、 1 2、 3、
2 21 214、
65、 ?1?i
6、
26 5x2y2??1 7、
1648、 5 9、
1 3536
10、 11、 12、
k?0,?1?b?1
???,10?
15、A
16、D
二、选择题： 13、C 14、A 三、解答题：
17、求函数y?2cos?x?
????????cos?x???3sin2x的值域和最小正周期。 4??4?解：y?cos2x?3sin2x?2sin?2x??????，y???2,2?，T??。 6?18、如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30?，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1?）？
解：BC?
400?100?2?20?10?cos120??107
2010721??sin?ACB???ACB?41?
sin?ACBsin120?7
∴乙船应朝北偏东约30??41??71?的方向沿直线前往B处救援。 19、在四棱锥P?ABCD中，底面是边长为2的菱形，?DAB?60?，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60?． （1）求四棱锥P?ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解：（1）底面是边长为2的菱形，?DAB?60??BD?2 PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60??PO? ∴VP?ABCD?3，
13?(2??4)?3?2。 34?13???， （2）建系如图，A0,?3,0,P0,0,3,D??1,0,0?,E,0,?22???????
DE??,0,?3?2?3??,PA?0,?3,?3，DE?3,PA?6， 2????32??2， cosDE,PA?432?2。 4220、在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y?2x相交于A、B两点。
∴异面直线DE与PA所成角的大小为arccos