（1）求证：“如果直线l过点T?3,0?，那么OA?OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。 解：（1）如果直线l?x轴，则A3,6,B3,?6?OA?OB?9?6?3 如果直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y?k?x?3?，
??????????2??y2?2xx?x?6?2???2 ??x2??6?2?x?9?0??1k2
k???y?k?x?3???x1x2?9 ∴
OA?OB?x1x2?k2?x1?3??x2?3??1?k2x1x2?3k2?x1?x2??9k2?9?9k2?18k2?6?9k2?3????????
综上，得“如果直线l过点T?3,0?，那么OA?OB＝3”是真命题。
（2）（1）中命题的逆命题：在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于 ∵设直线l与x轴的交点坐标为?t,0?，则直线方程为x?t?my?0，把它代入
??????A、B两点。如果OA?OB ＝3，那么直线l必过点T?3,0?。
??????y2?2x得
y2?2my?2t?0?y1?y2??2m,y1y2??2t?x1x2??t?my1??t?my2??t2
由OA?OB?x1x2?y1y2?t2?2t?3?t?3或t??1，即直线l必过点
T?3,0?或T??1,0?。
∴（1）中命题的逆命题是假命题。
21．已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
22k?1，数列{bn}满足bn＝
1log2(a1a2???an)（n＝1，2，┅，2k），求数n列{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－
333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－2223|≤4，求k的值． 2解：（1）an?1??a?1?Sn?2，则an??a?1?Sn?1?2，两式相减，得
an?1（又?a，
ana1?2,a2?2a）
∴数列{an}是首项为2、公比为a的等比数列。
?nn?n2?1??11n?1n?1??1?loga?1?（2）bn＝log2(a1a2?????an)?log2?2?a，2??nn22k?1??（n＝1，2，┅，2k）。
（3）由（2）知，数列{bn}是首项为1、公差为
1的等差数列。 2k?13332?n?k??1又bn??，∴n?k?1时，bn?；n?k时，bn?。
2222?2k?1?333∴|b1－|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－
2223|??bk?1?b1???bk?2?b2?????b2k?bk? 2
?k??k?4?23,4?23k?4?k2?8k?4?0???k??2,3,4,5,6,7?。 2k?1?k?2,k?Za有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函x??22．已知函数y＝x＋数，在[a，＋∞)上是增函数．
2b（1）如果函数y＝x＋（x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值；
xc2（2）研究函数y＝x＋2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
xaa2（3）对函数y＝x＋和y＝x＋2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的
xx函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)＝
111(x2?)n＋(2?x)n（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的
x2x研究结论）． 解：（1）易知，x?2（2）y＝x＋
2b时，ymin?22b?6?b?log29?2log23。
c4是偶函数。易知，该函数在0,4c上是减函数，在c,??上是2x增函数； 则该函数在??,?4c上是减函数，在?4c,0上是增函数。
an（3）推广：函数y?x?n?a?0?，当n为奇数时，x?0,2na，y是减函数；
xx?2na,??，
y是增函数。
???????????? x???,?2na，y是增函数；?2na,0，y是减函数。当n为偶数时，x?0,2na，
2na,??，y是增函数。 x???,?2n11y是增函数。F(x)＝(x2?)n＋(2?x)n
xx1?1?1?1?0?2n1?2n?32?2n?6n?n?Cn?2n?3??Cn?2n?6????Cn?x?2n??Cn?x?x?x?n?x?xxx???????2n?y是减函数；x????????a?，y是减函数；??a,0?，
?
当x2n?1112n?3nn?1,x?,?,x??x?1时，。 y?2min2n2n?3nxxx
∴x??,1?，y是减函数；x??1,2?，y是增函数。
2?1????1??9??9??3? ∵f???f?2????????2n?1??
?2??4??2??2?1n112n∴函数F(x)＝(x?)＋(2?x)在区间[，2]上的最大值为
x2xnn??2n??3?2?1??，最小值为2n?1。
?2?n?2n