功能关系和能量守恒
(限时30分钟)
1．(多选)下列关于功和机械能的说法，正确的是( )
A．在有阻力作用的情况下，物体重力势能的减少不等于重力对物体所做的功 B．合力对物体所做的功等于物体动能的改变量
C．物体的重力势能是物体与地球之间的相互作用能，其大小与势能零点的选取有关 D．运动物体动能的减少量一定等于其重力势能的增加量 答案：BC
解析：物体重力势能的减少始终等于重力对物体所做的功，A项错误；运动物体动能的减少量等于合外力对物体做的功，D项错误．
2．(多选)一质量为1 kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时起，第1 s内受到2 N的水平外力作用，第2 s内受到同方向的1 N的外力作用．下列判断正确的是( )
9
A．0～2 s内外力的平均功率是 W
45
B．第2 s内外力所做的功是 J
4C．第2 s末外力的瞬时功率最大
4
D．第1 s内与第2 s内质点动能增加量的比值是
5答案：AD
解析：由题意知质点所受的水平外力即为合力，则知质点在这2 s内的加速度分别为a1
＝2 m/s、a2＝1 m/s，则质点在第1 s 末与第2 s末的速度分别为v1＝2 m/s、v2＝3 m/s，11212
每一秒内质点动能的增加量分别为ΔEk1＝mv21＝2 J、ΔEk2＝mv2－mv1＝2.5 J，D正确．再
2221
由动能定理可知第2 s内与0～2 s内外力所做功分别为W2＝ΔEk2＝2.5 J、W＝mv23－0＝4.5
2J，则在0～2 s内外力的平均功率P＝＝2.25 W，A正确，B错误．由P＝Fv知质点在第1 s末与第2 s末的瞬时功率分别为P1＝4 W、P2＝3 W，故C错误．
3．如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力．已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
2
2
Wt - 1 -
A．重力做功2mgR C．合外力做功mgR 答案：D
解析：小球从P到B的运动过程中，重力做功mgR，A错误；小球在B点恰好对轨道没有压力，只有重力提供向心力：mg＝B．机械能减少mgR 1
D．克服摩擦力做功mgR
2
mv2B，故vB＝gR，从P到B，对小球由动能定理：mgRR111
－Wf＝mv2B－0＝mgR，Wf＝mgR，C错误，D正确；克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，
222B错误．
4．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大 答案：C
- 2 -
解析：圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，A选项错误；下滑过程中，弹簧长度先减小再增大，即弹簧先压缩，然后恢复原长，再伸长，对应的弹性势能先增大然后减小，再增大，B选项错误；圆环滑到杆底端的过程中，重力势能减少了mgh，动能不变，故弹性势能增加了
mgh，C选项正确；由系统机械能守恒知，弹簧的弹性势能最大时圆环的动能与重力势能之和
应最小，在最低点时弹性势能最大，此时圆环动能为零，D选项错误．
5．如图所示是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC，弯曲、水平轨道CDE和半径R＝7.5 m的竖直圆形轨道平滑连接．质量m＝100 kg的小车，从距水平面H＝ 20 m高处的A点静止释放，通过最低点C后沿圆形轨道运动一周后进入弯曲、水平轨道CDE.重力加速度取
g＝10 m/s2，不计摩擦力和空气阻力．求：
(1)若小车从A点静止释放，到达圆形轨道最低点C时的速度大小； (2)小车在圆形轨道最高点B时轨道对小车的作用力；
(3)为使小车通过圆形轨道的B点，相对于C点的水平面小车下落高度的范围． 答案：(1)20 m/s (2)333.3 N，方向竖直向下 (3)h≥18.75 m
解析：(1)不计摩擦力和空气阻力，小车下滑过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律有
mgH＝mv2C
vC＝2gH＝20 m/s.
(2)设小车在圆形轨道最高点B时的速度为vB，轨道对小车的作用力为N，根据牛顿运动定律和机械能守恒定律有
1
2
v2BN＋mg＝m
RmgH＝mg·2R＋mv2B
解得：N＝333.3 N，方向竖直向下．
(3)设小车在圆形轨道最高点B恰好不脱离轨道时的速度为v，释放高度为h，则
1
2
mgh＝mg·2R＋mv2
12
- 3 -
v2
mg＝m
R解得：h＝18.75 m
为使小车能通过圆形轨道的最高点B，相对于C点的水平面小车下落高度要大于等于18.75 m.
6.如图所示，AB为一长为5 m并以速度v＝4 m/s顺时针匀速转动的传送带，BCD部分为一半径为r＝2 m、竖直放置的光滑半圆形轨道，直径BD恰好竖直，轨道与传送带相切于B点．现将一质量为m＝1 kg的小滑块无初速地放在传送带的左端A点处，已知滑动与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2.
(1)求滑块到达B点时对轨道的压力大小； (2)求滑块在轨道上能上升的最大高度； (3)通过计算说明小滑块最终的状态． 答案：(1)18 N (2)0.8 m (3)见解析
解析：(1)滑块在传送带上的加速度大小为a＝μg＝2 m/s 假设滑块在到达B点前与传送带共速，则
2
v2
x＝＝4 m<5 m 2a即假设成立，滑块在传送带上先加速后匀速，到达B点时与传送带速度相同．
v2
由牛顿第二定律有FN－mg＝m rv2
得FN＝m(g＋)＝18 N
r由牛顿第三定律知滑块到达B点时对轨道的压力为18 N.
12
(2)设滑块在轨道上能上升的最大高度为h，由机械能守恒定律得mgh＝mv
2得h＝0.8 m.
(3)由于h - 4 - 2 复运动． 7．如图所示，一长为6L的轻杆一端连着质量为m的小球，另一端固定在铰链O处(轻杆可绕铰链自由转动)．一根不可伸长的轻绳一端系于轻杆的中点，另一端通过轻小定滑轮连接在质量M＝12m的小物块上，物块放置在倾角θ＝30°的斜面上．已知滑轮距正下方地面上的A点的距离为3L，铰链O距A点的距离为L，不计一切摩擦．整个装置由图示位置静止释放，当轻杆被拉至竖直位置时，求： (1)物块与小球的速度大小之比； (2)小球对轻杆在竖直方向上的作用力的大小； (3)此过程中轻绳对轻杆做的功． 121 答案：(1)1∶2 (2)mg (3)mgL 22 解析：(1)当轻杆被拉至竖直位置时，设物块的速度为v，小球的速度为v′，由于物块此时的速度与轻杆中点的线速度大小相等，根据杆上各点线速度与角速度的关系可知：小球的速度v′＝2v，则v∶v′＝1∶2. (2)根据几何关系可知，物块下滑的距离为s＝4L 对m和M组成的系统，根据机械能守恒定律，有 Mg·ssin θ－mg·6L＝Mv2＋mv′2 3 解得v＝gL 2 1212 v′2 小球在最高点，由牛顿第二定律mg＋F＝m 6L1 解得F＝mg 2 1 根据牛顿第三定律，小球对轻杆在竖直方向上的作用力的大小为F′＝mg. 212 (3)对小球和轻杆，由动能定理W－mg·6L＝mv′ 221 解得W＝mgL. 2 8．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一质量为m的物体A，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，两端分别与物体A及质量为2m的物体B连接．不计空 - 5 -