数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. A 2. B 3.B 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 二、填空题（每小题4分，共20 分）
13． 48 14． 32 15． 2 16． 三、解答题（共6小题，共70分） 17．解： ?cosA?? 7122 ,0?A???sinA?33ac32??,a?2,c??sinC?，sinAsinC22 …………………………………5分 ?c?a?0?C?A???A?B?C??2,?C??4?sinB?sin(A?C)?sin(A? =
?4)?sinAcos?4?cosAsin?4?2221
(?)23322 ?3612acsinB?1?f(x)?2cosxsinx?2cos2x?1 24∴S?ABC??sin2x?cos2x)?2sin(2x?) …………………………………10分
4
18．解 （Ⅰ）记事件C;甲命中1次10环，乙命中两次10环，事件D；甲命中2
次10环，乙命中1次10环，则四次射击中恰有三次命中10环为事件C?D
?215171212212?P(C?D)?C2???C2()?C2()??? …………6分
336366162（Ⅱ）?的取值分别为16，17，18，19，20， …………………… 9分
6
11111115P(??16)???,P(??17)?????33932331811111161P(??18)????????,363233183 …12分
111142111P(??19)??????,P(??20)???3632189361815121107?E??16??17??18??19??20??9183918619. 解（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5
∵AC2 = AB2 + BC2∴AB⊥BC又AB⊥BB1且BC∩BB1 = B
∴AB⊥面BCC1B1 ……………………4分 （Ⅱ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7． ∴S四边形BCQP =
BC?(BP?CQ)(3?7)?4??20
2211111∴VA—BCQP =×20×3 = 20又∵VABC?ABC=S?ABC?AA1??3?4?12?72．
23∴
V上72?205213???． …………………… 8分 V下20205（Ⅲ）如图，建立空间直角坐标系 则A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
设面APQ的法向量为m= (x，y，z) …………………… 9分
????3x?3z?0?m= (1，–1，1) ……………………11分 ??4y?4z?0?而面ABC的法向量可以取n= (0，0，1)
?????cosm,n?∴
13?1?3 ……………………12分 322
20.解：（Ⅰ）将圆M的一般方程x?y?6x?2y?7?0化为标准方程
(x?3)2?(y?1)2?3，圆M的圆心为M(3,1),半径r?3. x由A(0,1),F(c,0)(c?a2?1)得直线AF:?y?1,即x?cy?c?0,
c3?c?c由直线AF与圆M相切,得?3,
2c?1
7
c?2或c??2(舍去).
x2?y2?1.…………4分 当c?2时, a?c?1?3, 故椭圆C的方程为C:3????????（Ⅱ）(解法一)由AP?AQ?0,知AP?AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,
1由A(0,1)可设直线AP的方程为y?kx?1，直线AQ的方程为y??x?1(k?0)
kx2?y2?1并整理得: (1?3k2)x2?6kx?0, 将y?kx?1代入椭圆C的方程3226k6k6k2,??1),即解得x?0或x??,因此P的坐标为(?221?3k21?3k1?3k16k1?3k26kk2?3(?,)将上式中的k换成?,得Q(2,).
k1?3k21?3k2k?3k2?3k2?31?3k2?226kk2?3k?31?3k直线l的方程为y? (x?2)?26k6kk?3k?3?2k?31?3k2k2?11x?， 化简得直线l的方程为y?4k2因此直线l过定点N(0,?). ……………………12分 (解法二)1?若直线l存在斜率，则可设直线l的方程为：
y?k?x(?mA(0,?1l)?m?1)，
12x2?y2?1并整理得: (1?3k2)x2?6mkx?3(m2?1)?0, 代入椭圆C的方程3由l与椭圆C相交于P(x1,kx1?m)、Q(x2,kx2?m)两点，则x1,x2是上述关于x的方程
两个不相等的实数解，从而??(6mk)?4(1?3k)?3(m?1)?12(3k?1?m)?0
222226mk3(m2?1)x1?x2??,x1x2? 221?3k????????1?3k由AP?AQ?0,得
x1x2?(kx1?m?1)(kx2?m?1)?(1?k2)x1x2?k(m?1)(x1?x2)?(m?1)2?0，
3(m2?1)6mk2(1?k)??k(m?1)?(?)?(m?1)?0 221?3k1?3k2整理得：2m2?m?1?0, (2m?1)(m?1)?0,由m?1知m??
8
1. 2
此时??9(4k2?1)?0, 因此直线l过定点N(0,?).
122?若直线l不存在斜率，则可设直线l的方程为：x?m(?A(0,1)?l,?m?0)，
x2m222?y?1并整理得: y?1?将x?m代入椭圆C的方程, 332当m?3时, y2?0,直线l与椭圆C不相交于两点，这与直线l与椭圆C相交于P、Q两点产生矛盾!
当0?m?3时, 直线l与椭圆C相交于P(m,y1)、Q(m,y2)两点，y1,y2是关于y的
2m2m2?1. 方程y?1?的两个不相等实数解，从而y1?y2?0,y1y2?33????????????????422但AP?AQ?m?(y1?1)(y2?1)?m?0,这与AP?AQ?0产生矛盾!
31因此直线l过定点N(0,?). ……………………12分
2（注：对直线l不存在斜率的情形，可不做证明.） 21．解：（Ⅰ）由题知：g(x)的定义域为（0,+∞）
(3x?2)(x?2)?2?/∵g(x)?∴函数g(x)的单调递增区间为?0,?和[2,??)
4x?3?2g(x)的单调递减区间为[,2] ……………………6分
32(Ⅱ)∵g(x)在x∈[,??)上的最小值为g(2)
3321ln4?1?0 且g(2)=?2?4?2?ln2?ln2??8222∴g(x)在x∈[,??)上没有零点，
3?2?∴要想使函数g(x)在[en,??)（n∈Z）上有零点，并考虑到g(x)在?0,?单调递增
?3?22nn且在[,2]单调递减，故只须e?且f(e)?0即可，
333?2312?1?1?2?2易验证g(e)??e?2?e?1?0,g(e)??4?2?2?lne?
88ee131(?2?2)?0，当n≤-2且n∈Z时均有g(en)?0， 2e8en?1n即函数g(x)在[e,e]?[e,??)(n?Z)上有零点
2∴n的最大值为-2. ……………………12分
9