摘要
功率谱估计是信号处理领域的重要问题之一。在实际应用中往往不能获得具体信号的表达式，需要根据有限的数据样本来获得较好的谱估计效果。
本论文研究了功率谱估计的几种常用的方法，包括经典法和参数法中的AR模型法，对每种方法的估计质量做了数学推导，给出仿真程序及仿真图，在仿真图的基础上对每种方法的性能进行了讨论。
经典法主要包括周期图法和BT法，但这两种方法都存在明显缺陷，即认为观测数据之外的数据都为零，所以对经典法中的周期图法进行了加窗，平均等修正。
从仿真图中可以看出，经典法无论是在谱分辨率还是在主瓣宽度，旁瓣幅度等方面都存在不足。AR模型法通过应用随机过程可用一白噪声通过一物理网络表示的理论，避免了经典法中除了观测数据之外的数据都为零的假设，因此能得到较好的谱估计效果。
关键字：功率谱估计；周期图；BT法；AR模型法。
I
ABSTRACT
Power Spectral Estimation is a fundamental topic in the signal processing field. Actually, we can’t get the precise expression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data sequences.
In this thesis, some common methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation、AR model of modern spectral estimation, are studied. The quality of each estimation method is derived, and the program and some simulated figures of these methods are also provided. In addition, the performance of each method is discussed according to the simulated figures.
Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include The Periodogram and the BT method. But both of them have a common drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve the quality of The Periodogram.
From the simulated figures, we see that the classical methods have some conspicuous disadvantages, no matter in the spectral resolution or the main lobe width、the side lobe amplitude. AR model, which supposed that any random processes can be expressed as white noise crossing a physical union, avoids the drawback of the classical methods. So, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained.
Keywords: Power Spectrum Estimation；The Periodogram；the BT methods；AR model.
II
基于MATLAB的谱估计实现 1 引言
所谓功率谱估计，就是用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱，它在随机信号的分析中起着类似于频谱在确定性信号分析中所起的作用。功率谱是随机信号的一种重要的表征形式，在雷达信号处理中，由回波信号功率谱密度、谱峰的密度、高度和位置，可以确定运动目标的位置、辐射强度和运动速度等。在电子战中，谱分析可用来对目标进行分类识别等。功率谱估计在各种随机信号处理中得到了十分广泛的应用。例如，根据信号、干扰与噪声的功率谱，可以设计适当的滤波器，以尽量不失真地重现信号，而最大幅度地抑制干扰与噪声。
功率谱估计分为两大类。一类是非参数化方法，另一类是参数化方法。非参数化方法又叫经典谱估计法，它实质上仍依赖于传统的傅里叶变换法。经典谱估计法通常又分为两种，一种是间接法，它是由布莱克曼（R.B.Blackman）和图基（J.w.Tukey）提出，又称为BT法。它首先对信号的自相关函数进行估计，然后再估计信号的功率谱。另一种是直接法，通过对观测到的数据样本进行傅里叶变换，然后将所得到结果的幅值平方后得到功率谱估计，这种方法又称为周期图法。
经典法的缺点表现为，除了得到的N个数据以外，序列的其他值均被认为是零（或者等效，序列的自相关函数值除了能估计出的有限个值之外，其他的值被当做零），但序列或其自相关函数的那些未能观测到或未估计出来的值，实际上并不全是零。在现代谱估计的方法中，不再认为在观测到的N个数据以外的数据全为零，因此克服了经典法的缺点，并且提高的谱估计的分辨率，能给出较好的估计。
本篇文章将首先讨论各种方法的理论依据，然后针对每种方法进行MATLAB仿真，给出详细的仿真程序，并在仿真图的基础上分析它的性能。
1
基于MATLAB的谱估计实现 2 随机过程及估计理论基本知识
2.1 随机过程的基本知识
2.1.1 随机过程的分类
按照时间和状态（一般称随机过程X(ti)在t?ti的可能取值为它的状态）是连续的还是离散的来分类，可以分成以下四类：
（1）
连续型随机过程：X(t)对于任意的t?T，X(t)都是连续型随机变量，也就是时间和状态都是连续的情况。
（2）
离散型随机过程：X(t)对于任意的t?T，X(t)都是离散型随机变量，也就是时间连续，状态离散的情况。
（3）
连续随机序列，随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，也就是时间离散，状态连续的情况。例如在时间域{0,ts,2ts,3ts,…}上对接收机输出噪声电压过程X(t)进行采样，就可得到一个连续序列
X0,X1,X2,…，Xk，其中Xk=X(kts)。
（4）
离散型随机序列：相应于时间和状态都是离散的情况。例如，对连续型随机序列再进行量化，即得到离散随机序列。
本篇论文主要涉及的信号类型属于离散随机信号，它一般是对一个连续信号进行抽样，对抽样所得的序列进行功率谱估计，故它属于连续随机序列。 2.1.2 离散随机过程的数字特征 a.数学期望
离散时间随机过程{Xn}的均值或数学期望定义为 mxn?E[Xn]??????xfX(x;n)dx
)是单值函数，则g{Xn}构成一个新的离散时间随机过程，其均值可定义为 若g(? E[g{Xn}]??均值有下列性质：
????g(x)fX(x;n)dx
（1） E[Xn?Ym]?E[Xn]?E[Ym]，即和的均值等于均值的和。
（2） E[aXn]?aE[Xn]，即Xn乘以一个常数a的均值等于Xn的均值乘以此常数。
2
基于MATLAB的谱估计实现 （3） 若E[XnYm]?E[Xn]E[Ym]，则称Xn与Ym是统计独立的。 b.均方值与方差
离散时间随机过程的均方值定义为
22 ?X?E[X]??nn????x2fX(x;n)dx
离散时间随机过程的方差定义为
22 ?X?D[X]?E[(X?m)] nnXnn由于和的均值等于均值的和，所以容易证明上式可写成
22222 ?X ?E[X]?E[X]???mnnXXnnn2
为非负函数，其平方根称作离散时间随机过程的标准差或均方差，即 ?X
n
2?D[Xn] ?Xn??Xn一般来说，均值，均方值，方差都是n的函数，但对平稳离散随机过程来说，它们与n无关，都是常数，即
mX?E[Xn]
22 ?X?E[Xn] 2 ?X?E[(Xn?mX)2]
c.自相关函数
离散时间随机过程的自相关函数定义为 RX(n1,n2)?E[Xn1Xn2]???????????x1x2fX(x1,x2;n1,n2)dx1dx2
2.2 离散随机过程的功率谱密度
2.2.1 离散随机过程功率谱密度定义
设X[n]为宽平稳离散时间随机过程，或简称为宽平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为
RX(m)?E{X[nT]X[nT?mT]}
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