16．（2010年益阳市）如图7，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的
中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE的长．
【关键词】菱形性质、等边三角形、 【答案】解:⑴ 在菱形ABCD中,AB?AD，?A?60?
∴?ABD为等边三角形 ∴?ABD?60?
⑵由（1）可知BD?AB?4
又∵O为BD的中点 ∴OB?2 又∵OE?AB，及?ABD?60? ∴?BOE?30? ∴BE?1
17.（2010年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，
AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【关键词】菱形的判定 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF． ∴BE＝DF． （2）四边形AEMF是菱形．
A D ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC． F ∵BE＝DF，
∴BC－BE = DC－DF. 即CE?CF．
O ∴OE?OF．
∵OM = OA，
E B C ∴四边形AEMF是平行四边形． ∵AE = AF，
M 第21题图 ∴平行四边形AEMF是菱形．
18（.2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，
0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－
DCO60?A图7EB1x＋b交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，
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试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
y C O 【关键词】轴对称 四边形 勾股定理
【答案】（1）由题意得B（3，1）．
D B E A x
y
3 25若直线经过点B（3，1）时，则b＝
2若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1
DCEOBAx图1 ① 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤
yD3，如图25-a， 2CBEOAx图2
此时E（2b，0）
∴S＝
11OE·CO＝×2b×1＝b 2235＜b＜，如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即
此时E（3，b?3），D（2b－2，1） 2∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )
＝ 3－[
1151352(2b－1)×1＋×(5－2b)·(?b)＋×3(b?)]＝b?b 222222?b??∴S???5b?b2??21?b?32
35?b?22（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与
矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
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本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ yC1DCMBO1HONEAA1x图3
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝
B11，DH＝1，∴HE＝2， 2222设菱形DNEM 的边长为a，
则在Rt△DHM中，由勾股定理知：a?(2?a)?1，∴a?∴S四边形DNEM＝NE·DH＝
5 45 45． 4∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为
19.（2010年四川省眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴
的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（?3，0）、（0，4），抛物线
25y?x2?bx?c经过B点，且顶点在直线x?上．
32（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断
点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交
CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
y【关键词】抛物线、菱形、最值
【答案】 解：（1）由题意， 可设所求抛物线对应的函数关系式为y?(x?)2?m …（1分） ∴4??(?)2?m
2352BNMC2352 ∴m?? ……………………………………………………………（3分） AOD16Ex8
∴所求函数关系式为：y?(x?)2? （2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB?OA2?OB2?5
235212210?x?x?4 …………（4分） 633∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分） ∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
210?5?4?4
33210当x?2时，y??22??2?4?0
33当x?5时，y??52?∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）
（3）设直线CD对应的函数关系式为y?kx?b，则
?5k?b?4 ?2k?b?0?y48解得：k?,b??．
3348∴y?x? ………（9分）
33∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t． 则yM?t2?BNMAODCEx231048t?4， yN?t?，……………………（10分） 33348?21021420273???(t?)2? ∴l?yN?yM?t???t2?t?4???t2?t?33?33333322?73时，l最大?， 2271此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）
22∵??0， ∴当t?
20. (2010年浙江省绍兴市) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB, BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ＝4.求GH的长.
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第23题图2
23第23题图1
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O, ∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
第23题图4 第23题图3
【答案】(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ∴ ∠EAB+∠AEB=90°. ∵ ∠EOB=∠AOF＝90°, ∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF．
第23题图1
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M， 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/， N 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ∴ EF=BN,GH=AM，
∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,
M
故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN， O′ ∴ GH=EF=4． (3) ① 8．② 4n．
第23题图2
21.（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长. 【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
E M B C N A D
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