即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ??????9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中，
222
∵EF＋FC＝EC， ∴（
x232）＋（x＋x）＝22F E N M B C A D
x3x，EF＝. 22?3?1?.
2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.
22.（2010年四川省眉山市）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
【关键词】平行四边形的判定、菱形的性质与判定和面积、矩形的性质 【答案】解：（1）四边形OCED是菱形．
DA∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形， O又 在矩形ABCD中，OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
BC（2）连结OE．由菱形OCED得：CD⊥OE， ∴OE∥BC 又 CE∥BD
∴四边形BCEO是平行四边形
11
E∴OE=BC=8
∴S四边形OCED=OE?CD??8?6?24
23．（2010年浙江省东阳市）（6分）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF． （1） 请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明 你的结论．
（2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应
添加一个条件 ▲ 【关键词】三角形的全等
F B D E C A 1212【答案】（1）AD是△ABC的中线.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分
理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°．．．．．．．．．１分 又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．．．．．．．２分 （２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ．．．．．．．２分
20. （2010年安徽中考）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC
⑴求证：四边形BCEF是菱形
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE。
【关键词】菱形、三角形的全等
【答案】
(1)证明：∵AD∥FE，∴∠FEB=∠2，∵∠1＝∠2，∴∠FEB=∠1 ∴BF=EF∵BF=BC，∴BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∵BF=BC
∴四边形BCEF是菱形
（2）证明：∵EF=BC，AB=BC=CD，AD∥FE ∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形
12
∴AF=BE，FC=ED 又∵AC=2BC=BD ∴△ACF≌△BDE
24.（2010辽宁省丹东市）20． 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一
点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
A E D
F 【关键词】矩形
【答案】 B C 第20题图
25．解：在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． ················································································· 3分 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE． ··············································································· 5分 AE=CD． ················································································ 6分 AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm， ∴2（AE+AE+4）=32． ················································································ 8分 解得， AE=6 （cm）． ············································································ 10分
26.(2010福建泉州市惠安县)如图，点E、F分别是菱形ABCD中BC、CD边上的点（E、F不与B、C、D重合）；在不作任何辅助线的情况下，请你添加一个适当的条件，能推出AE=AF，．．
并予以证明.
A
B E C F
【关键词】菱形的性质
【答案】添加的条件是：BE=DF，
证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D 又∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF（S.A.S）
∴AE=AF
27..(2010年山东聊城)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形 【关键词】矩形
13
D
A 【答案】（1）∵AD是等边△ABC的中线，∴∠CAD=∠BAD=300
又△ADE为等边三角形，∴∠DAE =600 ∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=600-300=300. F E （2）∵CF为等边△ABC的中线，∴CF⊥AB， 又∠BAE=∠BAC+∠CAE=600+300=900.
B C D ∴AE∥FC，
第22题
∵AD、CF都是等边△ABC的中线，∴AD=CF，
∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD=FC，∴四边形AFCE是平行四边形. 又∠AFC为直角，
∴∴四边形AFCE是矩形 28、（2010年宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC?8，BD?6。 （1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四 D C
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。
B A （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
（图1） 中用实线画出拼成的平行四边形。
（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） D D D C C C A B A B A B （图2） （图3） （图4）
周长为__________ 周长为__________ （第21题）
21、解：（1）
D D D C C C
A B A B A B 周长为26 周长为22 答案不唯一
14