针孔滤波器
物
He-Ne?0=1mm
300mm300mm300mm300mm300mm
一、证明题
1. 若
f(x)?h(x)?g(x)，试证明f(x?x0)?h(x)?g(x?x0)；即参与卷积的
?一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。 证明：根据卷积的定义，已知 f(x)?h(x)??f(t)h(x?t)dt
??f(x?x0)?h(x)??f(t?x0)h(x?t)dt????t'?t?x0????f(t')h(x?t'?x0)dt'
??f(t')h(x?x0?t')dt'?g(x?x0)???2. 证明?(x?x0)?f(x)?f(x?x0)
根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据δ函数的筛选性质。
?(x?x0)?f(x)???(t?x0)f(x?t)dt?f(x?x0)
???二、计算题
1. 有一波长为??0.6328?m的平面波，其传播方向与x-轴成600，z-轴成300，y-轴成?角。试写出过A(1,1,2)(坐标以毫米为单位)点的等相位面的方程式。 解：先求?角
cos2??1?cos2??cos2??1?cos2600?cos2300?1?(12)2?(32)2?0
s?0 ??90? 则 co?求空间频率
1??10.6328?10?6?1.58?106m?1
在求空间率的三个分量
1 fx?cos??1.58?106?0.5?0.79?106m?1
? fy?1?cos??1.58?106?0?0
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fz?1?cos??1.58?106?0.866?1.386?106m?1
求等相位面方程 fxx?fyy?fzz?c 把A点坐标代入
c?(0.79?1?0?1.386?2)?106?3.562?106
则过A点的等相位面方程为 0.79x?1.386 z?3.5622. 求cos?2?f0x?的傅里叶变换。
解：FT?cos?2?f0x???????cos?2?f0x?exp??j2?ux?dx
??1?exp?j2?f0x??exp??j2?f0x??exp??j2?ux?dx ??2???11??exp??j2??u?f0?x?dx??exp??j2??u?f0?x?dx ??2??2?1???u?f0????u?f0?? 2????yz??，求此波在传播?x3. 单色平面波的复振幅表达式为U(x,y,z)?Aexp?j2???????236方向的空间频率以及在x，y，z方向的空间频率。 解：由题设知kcos??kx,kcos??ky,kcos??kz 2分
k1且f????2?2?fx?cos??1?2??2??1?2?1?2?1?2?????????1 ?????2??3??6?????1cos?11,fy??,fz?
?6324. 应用卷积定理，求tri(x∕a)的傅里叶变换。
x?x?解：F?rect()???rect()exp(?i2?fxx)dx
a???a?2isin??fxa?sin??fxa??exp(?i2?fxx)?上式???a?asinc?afx? ???i2?fi2?f?faaxxx???2?a2?xxxa?()?rect()?rect()
aaa 12
?F??(x)??1?xx?1?x?x??F?rect()?rect()??F?rect()??F?rect()??asinc2(afx) a?aa?a?a?a??5. 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和
h2?x??sinc2?2x?，试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应。
解：对与线性平移不变系统，脉冲响应的傅里叶变换是系统的传递函数
F?sinc2?2x???F?sinc?2x???F?sinc?2x??
?1?f?1?f?1?f?rect?x??rect?x????x? 2?2?2?2?2?2?所以 H1(fx)?rect(fx),H2?fx??f1?(x) 22输入频谱为 F?fx??1???fx?1????fx?1?? 2对于系统1的输出频谱为
1G1?fx??H1?fx?F?fx?????fx?1????fx?1??rect?fx??0
2对于系统1的输出函数也为 0 ，即g1?x??F对于系统2的输出频谱为
G2?fx??H2?fx?F?fx??1?fx?1?f?1??f?1???????xx??2??8????fx?1????fx?1??? 4????1?1?G?f???0
1x对于系统2的输出函数为 g2?x??Fcos2?x ?G?f???142x6. 已知衍射受限光学系统的输入函数为g?x??comb?x?，系统的传递函数为三角形函数rect(fxb)。若b取：①b=1；②b=3，求系统的输出频谱G?fx?和输出函数g??x?。 解： 根据梳妆函数的定义，梳妆函数的傅里叶变换还是梳妆函数，即
F?comb?x???comb?fx?，此为间隔为1的?函数组成的分立的周期频谱值。 当b＝0.5时，只有零频成为通过，且H?0??1，输出频谱为H?fx????fx?
输出的函数是g?x??1的常数。 当b＝1.5时，只有零频和两个基频成份通过，且H?0??1，H??1??1 其输出的频谱是G?fx????fx?1????fx????fx?1?
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输出的函数是其频谱的傅里叶逆变换g?x??1?2cos?2?x?
7. 在平面?x0,y0?上有两个相同的矩孔构成的衍射屏，它们的宽度为a，长度为b，中
心相距为d。采用振幅为A，波长为λ的相干平面波垂直照明，求相距为z的观察平面?x,y?上夫琅和费衍射图样的强度分布。
y0 a x0 b d 图1
解：双矩孔的透过率函数为：
y0y0?x?d2??x0?d2?t?x0,y0??rect?0rect()?rectrect() ???abab????当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其孔径后面透射光场即为
Ut(x0,y0)?At?x0,y0? 观察面上的光场分布
Aejkzj2kz?x02?y02?U?x,y??eFT?t?x0,y0??
j?z?y0?d2?y0??x?d2??x0FT?t?x0,y0???FT?rect?0rect()?rectrect()????abab???????y0???d2??y?x?d2????x0??FT?rect?0FTrect()?FTrectFTrect(?????????abab????????????absinc?afx?sinc?bfy?e?j?dfx?absinc?afx?sinc?bfy?ej?dfx?2absinc?afx?sinc?bfy?cos??dfx?和费衍射图样的强度分布
4A2a2b2xy222I?sincafsincbfcos?dff?,f? 其中 ??????xyxx?2z2?zy?z?)0??夫琅
8. 如图2所示的?x0,y0?平面上，孔径由两个相同的狭缝构成，它们的宽度为a，中心
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相距为d。采用振幅为A、波长为?的相干平面波垂直照明，求相距为z的观察平面
?x,y?上夫琅和费衍射图样的强度分布。
y0 a x0 d 图2
解：双缝的透过率函数为：
x?d2x?d2t(x)?rect()?rect()
aa当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，其孔径后面透射光场即为
Ut(x0,y0)?At?x0,y0?
Aejkzj2kz?x2?y2?eFT?t?x0,y0?? 观察面上的光场分布 U?x,y??j?zx0ddFT{t(x0)}?FT{rect()}?FT{?(x0?)??(x0?)}a22?asinc(afx)(e?i2?fxd2?ei2?fxd2)
?2asinc(afx)cos(?fxd)夫琅和费衍射图样的强度分布
4A2a2xyI?22sinc2?afx?cos2??dfx? 其中fx? ,fy??z?z?z9. 设有一透镜带有一20?20mm的方形光阑，像距为40mm，设入射波长为0.6328?m，试求：
（1） 在相干光照明下，该透镜的相干传递函数和截止频率； （2） 在非相干光照明下，该透镜的光学传递函数及截止频率。
解：(1)在相干光照明下，该透镜系统光阑的透过率函数P(x,y)可用一个二维矩形函数来表示
xyxy P(x,y)?rec(t,)?rec(t)rec(t)
llll
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系统的相干传递函数为
HC(fx,fy)?P(?difx,?dify)?rec(t 透镜系统的截止频率为
?difxl)rec(t?difyl)
l20?10?32?1 fcx?fcy? ??3.95?10mm?6?32?di2?0.6328?10?40?10
2
(2) 在非相干光照明下，该透镜系统光阑：如图(a)总面积s0＝l，如图(b)重叠部分的面积为
?(fx,fy)?(l??difx)(l??dify)
系统的传递函数为
?dify?(fx,fy)?difxHo(fx,fy)??(1?)(1?)?0ll
fyfx??(,)....l?dil?di 透镜系统的截止频率 f0x?f0yl20?10?32?1 ???7.9?10mm?6?3?di0.6328?10?40?103. 如何利用透镜的傅里叶变换性质，来获得物光场的傅里叶频谱？
解：由透镜的傅里叶变换性质可得，当物t(x0,y0)位于前焦平面，在单色平面光波的照射下，其后焦平面上的光场为
UF(xf,yf)?AF[t(x0,y0)]xfyf
fx?,fy?i?f?f?f可见，此时在透镜的焦平面上，即可得到物体的准确傅里叶频谱。也就是说；
这时透镜起到了一个傅里叶变换的作用。
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