一元二次方程根的判别式应用探讨
一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b－4ac =0；若无实数根，则Δ=b－4ac <0。 因此，Δ=b－4ac称为一元二次方程根的判别式。
根的判别式b-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：
2例1：（2012广西河池3分）一元二次方程x的根的情况是【 】 +2x+=20A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根
练习题：
1（2012广东珠海6分）已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=﹣3时，求方程的根。
2. （2011福建福州4分）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根
B、有两个相等的实数根
2
D、没有实数根
3. （2011福建福州4分）一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是 【 】
A、有两个不相等的实数根
B、有两个相等的实数根
- 1 -
C、只有一个实数根 D、没有实数根
2
4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x+x+ 1 4=0的根的情况是【 】
A、有两个不等的实数根
B、有两个相等的实数根
C、无实数根
D、无法确定
二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：
典型例题：
2例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程k有两个不相x?2k??1x1?0等的实数根，那么k的取值范围是【 】 A．k＜
111111B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
2 222222例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程x有实数解，则m的取值范围?2x?m?0是【 】
A. m??1 B. m?1 C. m?4 D.m?1 2例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值和此时方程的两根。 例8：（2012四川成都4分）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上
2的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2有两个不相等的实数根，且以?a?1x?aa?30?????22?x?a?1xa??2x为自变量的二次函数y的图象不经过点（1，0）的概率是 ▲ 。
??练习题：
1（2012四川广安3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣l）x﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠l D．a＜﹣2
2. （2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】 (A) k>
2
3. （2012四川泸州2分）若关于x的一元二次方程x2 －4x + 2k = 0有两个实数根，则k的取值范围是【 】
A、k≥2
B、k≤2
C、k＞-2
- 2 -
4433且k≠2 (B)k≥且k≠2 (C) k >且k≠2 (D)k≥且k≠2 3344D、k＜-2
2k?1x?1?kx+=04. （2012山东东营3分）方程?有两个实数根，则k的取值范围是?14【 】．
A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1
25. （2012北京市4分）若关于x的方程x有两个相等的实数根，则m的值是 ?2x?m=0▲ 。
26. （2012四川资阳3分）关于x的一元二次方程k有两个不相等的实数根，则x?x+1=0k的取值范围是 ▲ 。
27. （2012湖北鄂州8分）关于x的一元二次方程x。 ?(m?3)xm?2?0（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且｜x1｜=｜x2｜－2，求m的值及方程的根。 8. （2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x+tx+2=0有两个相等的实数根？
9. （2009黑龙江佳木斯3分）若关于x的一元二次方程nx－2x－1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x－n的图象不经过【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2
2
三. 限制一元二次方程根与系数关系的应用： 典型例题：
例1：（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x+（2k+1）x+k﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ▲ 。
2
2
练习题：
21. （2012湖南怀化10分）已知x1,x2是一元二次方程(的两个实数根。 a6?)x?2axa0??（1）是否存在实数a，使??成立？若存在，求出a的值；若不存在，xx?4x?1x122请你说明理由；
（2）求使(为负整数的实数a的整数值。 x?1)(x?1)122. （2007湖北襄阳7分）已知关于x的方程x－2（m－2）x＋m2=0．问是否存在实数m，
2
使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
四. 判断二次三项式是完全平方式时的待定系数： 典型例题：
- 3 -
例1：（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16
例2：（2012贵州黔东南4分）二次三项式x﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ▲ 。
例3（：2012湖北荆州3分）已知：多项式x﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为 ▲ 。
2
2
k?1x练习题：
21. （2011云南玉溪3分）若x是完全平方式，则k=【 】 ?6x?kA．9 B．－9 C．±9 D．±3
2. （2010广西南宁3分）下列二次三项式是完全平方式的是【 】
2222
A．x－8x－16 B．x＋8x＋16 C．x－4x－16 D．x＋4x＋16
五. 判断双曲线与直线的公共点个数： 典型例题：
例1：（2012江苏南京2分）若反比例函数y?则k的值可以是【 】 A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
k与一次函数y?x?2的图像没有交点，．．x例2：（2012广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝ 1 x的交点个数为【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 例4：（2012四川资阳8分）已知：一次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。
（1）(3分)求该反比例函数的解析式；
（2）(3分)将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到； ②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。
例5：（2011湖北宜昌3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=点，那么m的取值范围在数轴上表示为【 】
m?3在第二象限有两个交x- 4 -
-2-10123(A)123(C)4-2-1012(B)34-2-104-2-10123(D)4
练习题：
1.（2011湖北黄石3分）若一次函数y?k的图像与反比例函数y?x?1点，则实数k的 取值范围是 ▲ 。
2. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件y=?2x+6．的一个即可）。
3. （2006湖北黄石8分8）已知一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）与反比例函数y??图象有唯一的公共点。
（1）求出b关于k的表达式及b为最小正整数时的两个函数的解析式；
（2）证明：k取任何正实数时，直线y=kx+b总经过一个定点，并求出定点的坐标。 4. （2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数
1的图像没有公共xk的xy=4-2k的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。 x
六. 判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数： 典型例题：
2?ax?bx的图象如图，若一元二次方程例2：（2012山东泰安3分）二次函数y2ax?bxm??0有实数根，则m的最大值为【 】
- 5 -