数列通项公式解法总结及习题训练（附答案）
1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an??S1,(n?1)。
Sn?Sn?1,(n?2)f(1),(n?1)??f(n)??an?f(n)求an，用作商法：an??3.作商法：已知a1?a2?。
,(n?2)??f(n?1)4.累加法：
若an?1?an?f(n)求an：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1(n?2)。
aaaa5.累乘法：已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。
anan?1an?2a1
6.已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。
1）递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。 先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)
?s?t?p
st??q?an?12）形如an?的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan?1?b7.数学归纳法 先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明。 8.换元法 换元的目的是简化形式，以便于求解。
其中s，t满足?9、不动点法 对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求
10定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
解题基本步骤：1、确定f(n) 2、设等比数列?an??1f(n)?，公比为？ 3、列出关系式an?1??1f(n?1)??2[an??1f(n)]4、比较系数求?1，?2 5、解得数列?an??1f(n)?的通项公式 6、解得数列?an?的通项公式
习题
1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列?an?中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+?…+a7= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
22.（2010安徽）(5)设数列{an}的前n项和Sn?n，则a8的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
3. (2011年高考四川)数列?an?的首项为3，?bn? 为等差数列且bn?an?1?an(n?N*) .若则b3??2，b10?12，则a8?( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）11
4.(2011年高考全国卷设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，
SA?2?Sn?24，则k? A）8 （B）7 （C）6 （D）5 ?25.（2009广东卷理）已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5a则当n?1时，log2a1?log2a3???log2a2n?1?
A. n(2n?1) B. (n?1) C. n D. (n?1) 6.（2009陕西卷）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an? 7. (2011广东卷)等差数列?an?前9项的和等于前4项的和.若a1?1,ak?a4?0，则k? 8.an?225n??22nn(?3)，
2an?1,a1?1 则其通项为
3?an?1?12m9（2009宁夏海南卷理）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am?1+am?1-a则m=_______
10.重庆卷理）设a1?2，an?1?=0，S2m?1=38,
a?22*，bn?n，n?N，则数列?bn?的通项公式bn= a?1an?1n11．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，
2S5?a5．求数列?an?的通项公式.
12已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1),n?1．求数列?an?的通项
n公式。
，a1?3，求数列{an}的通项公式。 13 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1
n14 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
15已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
nn
16知数列{an}满足an?1?an?
17已知数列{an}满足an?1?
18已知数列{an}满足an?1?
8(n?1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a?122(2n?1)(2n?3)91(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 167an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
2an?3答案及详解
1.【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
1a?a???a??7?(a1?a7)?7a4?287a4?412a3?a4?a5?122∵ ，∴
2.【答案】 A
【解析】a8?S8?S7?64?49?15.
【方法技巧】直接根据an?Sn?Sn?1(n?2)即可得出结论. 3.答案：B
解析：由已知知bn?2n?8,an?1?an?2n?8,由叠加法
(a2?a1)?(a3?a2)???(a8?a7)??6??4??2?0?2?4?6?0?a8?a1?3.
4【答案】D
【解析】Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?a1?(k?2?1)d?a1?(k?1?1)d
?2a1?(2k?1)d?2?1?(2k?1)?2?4k?4?24?k?5故选D。
2?22n，an?0，则an?2n， 5【解析】由a5?a2n?5?22n(n?3)得anlog2a1?log2a3????? log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n2，选C.
6解析:由a6?s3?12可得?an?的公差d=2,首项a1=2,故易得an?2n.
答案:2n
7【答案】10
4?3?9?89?d?4?d1??d??【解析】由题得?226??1?(k?1)d?1?3d?08解：取倒数：
k?10
13?an?1?11??3? anan?1an?1?1?111???是等差数列，??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?
ana13n?2?an?9解析由am?1+am?1-a2m2m=0得到
2am?a?0,am?0,2又S2m?1答案10
2m?1??a1?a2m?1????2?2m?1?am?38?m?10。
2?2an?1?2an?1a?2??2n?2bn且b1?4所以数列?bn?是10解析 由条件得bn?1?2an?1?1an?1?1an?1首项为4，公比为2的等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1
11解：设数列?an?公差为d(d?0) ∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9， 即(a1?2d)?a1(a1?8d)?d?a1d
∵d?0， ∴a1?d………………………………① ∵S5?a5 ∴5a1?22225?4?d?(a1?4d)2…………② 233，d? 55333∴an??(n?1)??n
555由①②得：a1?点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）
后再写出通项。
12解：由a1?S1?2a1?1?a1?1
na?S?S?2(a?a)?2?(?1), nnn?1nn?1n?2当时，有
?an?2an?1?2?(?1)n?1,
an?1?2an?2?2?(?1)n?2,……，a2?2a1?2. ?an?2n?1a1?2n?1?(?1)?2n?2?(?1)2???2?(?1)n?1
?2n?1?(?1)n[(?2)n?1?(?2)n?2???(?2)]?2n?12[1?(?2)n?1]?(?1)3n2?[2n?2?(?1)n?1].3经验证a1?1也满足上式，所以an?13
解
：
由
2n?2[2?(?1)n?1] 3得
an?1?an?2?3n?1an?1?an?2?3n?1则