20．（本小题满分13分）
数列An：a1,a2,ak?1(k?1,2,,an(n≥2)满足：,n)．记An的前k项和为Sk，并规定S0?0．定
义集合En?{k?N*，k≤n|Sk?Sj，j?0,1,,k?1}．
（Ⅰ）对数列A5：?0.3，0.7，?0.1，0.9，0.1，求集合E5； （Ⅱ）若集合En?{k1,k2,,km}(m?1，k1?k2??km)，证明：Sk?Sk?1(i?1,2,,m?1)；
i?1i（Ⅲ）给定正整数C．对所有满足Sn?C的数列An，求集合En的元素个数的最小值．
西城区高三统一测试
数学（理科）参考答案及评分标准
20xx.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
12．2 13．30 14．3 注：第10，11题第一空3分，第二空2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 9．?7 10．6，n2?n 11．3，x?3y?0
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 3a?sinC?c?sin2A，
所以 3a?sinC?2sinAcosA． [ 1分] c3sinA?sinC?2sinAcosA． [ 3分] sinC在△ABC中，由正弦定理得 所以 cosA?3． [ 4分] 2因为 0?A?π， [ 5分] 所以 A?π． [ 6分] 6（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA， 所以 (7)2?(23)2?c2?2(23)?c?3， [ 8分] 2 整理得 c2?6c?5?0， [ 9分] 解得 c?1，或c?5，均适合题意． [11分]
13当c?1时，△ABC的面积为S?bcsinA?． [12分]
22153当c?5时，△ABC的面积为S?bcsinA?． [13分]
2216．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 533?467?1000，
被该企业录用的人数为 264?169?433，
所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P?433．[ 3分] 1000（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2． [ 4分] 因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]
1C2C11822C4 所以 P(X?0)?2?； P(X?1)?2?；
C615C615C22． [ 8分] P(X?2)?4?2C65所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 P 1 158 152 5E(X)?0?1824?1??2??． [10分] 151553（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分]
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为 在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点， 所以 DE//BC，AD?AE．
所以 A1D?A1E，又O为DE的中点，
所以 A1O?DE． [ 1分]
因为 平面A1DE?平面BCED，且A1O?平面A1DE，
所以 A1O?平面BCED， [ 3分] 所以 A1O?BD． [ 4分] （Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，所以 OE?OG． 由（Ⅰ）得 A1O?OE，A1O?OG．
如图建立空间直角坐标系O-xyz． [ 5分]
由题意得，A1(0,0,2)，B(2,?2,0)，C(2,2,0)，D(0,?1,0)． 所以 A1B?(2,?2,?2)，A1D?(0,?1,?2)，A1C?(2,2,?2)． 设平面A1BD的法向量为n?(x,y,z)，
?????n?A1B?0,则 ?????n?AD?0,?1??????????2x?2y?2z?0,即 ?
??y?2z?0.
令x?1，则y?2，z??1，所以 n?(1,2,?1)． [ 7分] 设直线A1C和平面A1BD所成的角为?， 则 sin??|cos?n,A1C?|????|n?A1C||n||A1C|???????22． 322． [ 9分] 3所以 直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为（Ⅲ）线段A1C上存在点F适合题意．
设 A1F??A1C，其中??[0,1]． [10分] 设 F(x1,y1,z1)，则有(x1,y1,z1?2)?(2?,2?,?2?)， 所以 x1?2?,y1?2?,z1?2?2?，从而 F(2?,2?,2?2?)， 所以 DF?(2?,2??1,2?2?)，又BC?(0,4,0)， 所以 |cos?DF,BC?|???????????????????|DF?BC|???????4|2??1|． [12分]
|DF???||BC???|4(2?)2?(2??1)2?(2?2?)2令
|2??1|5(2?)2?(2??1)2?(2?2?)3， 2?整理得 3?2?7??2?0． 解得 ??13，舍去??2．
所以 线段AF1C上存在点F适合题意，且
A1A?1． 1C3
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f(x)的导函数为f?(x)?ex?(a?1x?lnx)?ex?(1x?1x2)
?ex?(a?2x?1x2?lnx)． 依题意，有 f?(1)?e?(a?1)?e， 解得 a?0． [
（Ⅱ）由f?(x)?ex?(a?2x?1xx)及ex?0知，f?(x)与a?212?lnx?x2?lnx同号． 令 g(x)?a?2x?1x2?lnx， 则 g?(x)?x2?2x?2(x?1)2?1x3?x3． 所以 对任意x?(0,??)，有g?(x)?0，故g(x)在(0,??)单调递增． 因为 a?(0,ln2)，所以 g(1)?a?1?0，g(112)?a?ln2?0，
故 存在x10?(2,1)，使得 g(x0)?0． [13分] [14分] [ 2分]
[ 4分]
5分]
[ 6分] [ 8分] [ 9分][11分]
1f(x)与f?(x)在区间(,1)上的情况如下：
2x f?(x) f(x) 1(,x0) 2x0 0 (x0,1) ↘ 12+ 极小值 ↗ 所以 f(x)在区间(,x0)上单调递减，在区间(x0,1)上单调递增．
所以 f(x)存在极小值f(x0)． [13分]
19．（本小题满分14分）
x2y2解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为??1． [ 1分]
42 所以 a2?4，b2?2，从而 c2?a2?b2?2． 因此 a?2，c?2． 故椭圆C的离心率 e?c2． [ 3分] ?a2 椭圆C的左焦点F的坐标为(?2,0)． [ 4分]
（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明如下： [ 5分]
22?2y0?4， [ 6分] 设P(x0,y0)，其中?2?x0?2，则x022依题意可设Q(x0,y1)，则x0?y1?4． [ 7分]
直线l的方程为 y?y1??x0(x?x0)， y1整理为 x0x?y1y?4?0． [ 9分] 所以圆F的圆心F到直线l的距离 d?|?2x0?4|22x0?y1?|2x0?2|． [11分] 211222因为 |PF|2?(x0?2)2?y0?(x0?2)2?(4?x0)?x0?22x0?4． [13分]
22所以 |PF|2?d2，