第2讲 数列求和及简单应用
A组 基础题组
1.已知数列{an}中,a1=a2=1,an+2=A.1 121 C.1 123
B.1 122 D.1 124
*
则数列{an}的前20项和为( )
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m(n,m∈N)且a1=5,则a8=( ) A.40 C.12
B.35 D.5
2
3.已知等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式dx+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是( ) A.4 C.6
B.5 D.7
4.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,数列{an}的“差数列”的通项公式为an+1-an=2,则数列{an}的前n项和Sn=( ) A.2
n+1
n
B.2 D.2-2
n-1
n
C.2-2
5.(2017贵阳一模)已知数列{an}满足2a1+2a2+?+2an=n (n∈N),数列和为Sn,则S1·S2·S3·?·S10=( ) A.C.
B. D.
2n*
的前n项
6.在各项均为负数的数列{an}中,2an=3an+1,且a2·a5=为 .
,则数列{an}的通项公式
7.(2017江苏四校联考(一))已知数列{xn}各项均为正整数,且满足xn+1=若x3+x4=3,则x1所有可能取值的集合为 .
n∈N.
*
8.一牧羊人赶着一群羊通过6个关口,每过1个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第1个关口前有 只羊.
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9.(2017洛阳第一次统一考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(n∈N). *
(1)求a2的值并证明:an+2-an=2; (2)求数列{an}的通项公式.
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn-1
n=(-1)anan+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
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B组 提升题组
1.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,?,其中第一项是2,接下来的两项是2,2,再接下来的三项是2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440
B.330
C.220
D.110
n-1
*
0
1
0
1
2
0
2.(2017石家庄第一次模拟)已知等比数列{an}满足an+1+an=3·2,n∈N.设数列{an}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan-2对一切n∈N恒成立,则实数k的取值范围为 . 3.(2017山东,19,12分)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),?,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2?Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.
*
4.(2017新疆第二次适应性检测)已知数列{an}满足a1=1,a1+a2+a3+?+an=an+1-1(n∈N),数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
*
(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<
对所有n∈N都成立的最小正整数m.
*
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答案精解精析 A组 基础题组
1.C 由题意可知,数列{a2n}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{a2n-1}是首项为1,公差为2的
等差数列,故数列{an}的前20项和为
*
+10×1+×2=1 123.故选C.
2.D 数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m(n,m∈N)且a1=5,令m=1,则Sn+1=Sn+S1=Sn+5,即Sn+1-Sn=5,所以an+1=5,所以a8=5.故选D.
3.B ∵关于x的不等式dx+2a1x≥0的解集为[0,9],∴0,9是一元二次方程dx+2a1x=0的两个实
2
2
数根,且d<0,∴-=9,∴a1=-.∴an=a1+(n-1)d=d,可得a5=-d>0,a6=d<0.∴使数列
{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.故选B. 4.C
因
为
an+1-an=2,
n
所以
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2+2+?+2+2+2=
n-1n-22
+2=2-2+2=2,
nn
所以
Sn==2-2.
2
n
*
n+1
5.C ∵2a1+2a2+?+2an=n(n∈N), ∴2a1+2a2+?+2an-1=n-1(n≥2), 两式相减得2an=1(n≥2),
n
2
n-1
a1=也满足上式,故an=,
故==-,
Sn=1-+-+?+-=1-=, ×
=
,故选C.
∴S1· S2·S3·?·S10=×××?×6.答案 an=-
解析 因为2an=3an+1,所以
=,
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